本页提供与反函数相关的练习题，涵盖有序对、线性函数、立方根函数、平方根函数、对数函数和指数函数等内容，并附有详细解答。答案通过代数方法和图像法进行验证，运用给定函数及其反函数的性质。建议按顺序解题，每个问题都有助于理解后续内容。
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a) 求函数 \( f \) 的反函数，已知： \[ f = \{ ( -2 , 0) , (0 , 1) , (2 , 3) , (3 , 4) \} \]
b) 求 \( f \) 反函数的定义域和值域。
c) 设 \( f^{-1} \) 是 \( f \) 的反函数，计算： \[ f(f^{-1}(1)) \; , \; f^{-1}(f(0)) \; , \; f^{-1}(f(2)) \; , \; f(f^{-1}(3)) \]
d) 在同一坐标系中绘制 \( f \) 和 \( f^{-1} \) 的图像，并说明 \( f \) 及其反函数 \( f^{-1} \) 的所有性质。
a) 通过交换给定函数的输入和输出值，得到反函数： \[ f^{-1} = \{ (0 , -2) , (1 , 0) , (3 , 2) , (4 , 3) \} \]
b)
\( f^{-1} \) 的定义域：\( \{0 , 1 , 3 , 4\} \)
\( f^{-1} \) 的值域：\( \{-2 , 0 , 2 , 3\} \)
c) \[ f(f^{-1}(1)) = f(0) = 1 \] \[ f^{-1}(f(0)) = f^{-1}(1) = 0 \] \[ f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(3) = 2 \] \[ f(f^{-1}(3)) = f(4) = 3 \]
d) \( f \)（蓝色点）与 \( f^{-1} \)（红色点）的图像如下所示：
1) \( f \) 的图像与 \( f^{-1} \) 的图像关于直线 \( y = x \) 对称
2) \( f \) 图像上的 x 截距和 y 截距分别成为 \( f^{-1} \) 图像上的 y 截距和 x 截距
3) \( f \) 的定义域和值域分别是 \( f^{-1} \) 的值域和定义域
4) \( f(f^{-1}(x)) = x \) 且 \( f^{-1}(f(x)) = x \)
5) 若函数 \( f \) 是函数 \( g \) 的反函数，则函数 \( g \) 也是函数 \( f \) 的反函数（函数与其反函数构成函数对）
求线性函数 \( f(x) = 2x + 2 \) 的反函数，并在同一坐标系中绘制 \( f \) 及其反函数的图像。
求解步骤：
步骤 1：用 \( y \) 替换 \( f(x) \)，将函数改写为方程： \[ y = 2x + 2 \]
步骤 2：交换方程中的 \( x \) 和 \( y \)： \[ x = 2y + 2 \]
步骤 3：解出 \( y \)： \[ 2y = x - 2 \] \[ y = \frac{1}{2}x - 1 \]
步骤 4：使用反函数符号表示： \[ f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x - 1 \]
步骤 5：通过性质 \( f(f^{-1}(x)) = x \) 和 \( f^{-1}(f(x)) = x \) 验证答案： \[ f(f^{-1}(x)) = 2(f^{-1}(x)) + 2 = 2(\frac{1}{2}x - 1) + 2 = x - 2 + 2 = x \] \[ f^{-1}(f(x)) = \frac{1}{2}f(x) - 1 = \frac{1}{2}(2x + 2) - 1 = x + 1 - 1 = x \]
\( f \) 和 \( f^{-1} \) 的图像如下所示，可直观看出两图像关于直线 \( y = x \) 对称。这是验证函数对是否互为反函数的图像方法。
求函数 \( g(x) = \sqrt[3]{x - 1} \) 的反函数，并在同一坐标系中绘制 \( g \) 及其反函数的图像。
步骤 1：将函数改写为方程： \[ y = \sqrt[3]{x - 1} \]
步骤 2：交换 \( x \) 和 \( y \)： \[ x = \sqrt[3]{y - 1} \]
步骤 3：解出 \( y \)：
两边立方并化简： \[ x^3 = (\sqrt[3]{y - 1})^3 \] \[ x^3 = y - 1 \] \[ y = x^3 + 1 \]
步骤 4：使用反函数符号表示： \[ g^{-1}(x) = x^3 + 1 \]
步骤 5：代数验证： \[ g(g^{-1}(x)) = \sqrt[3]{g^{-1}(x) - 1} = \sqrt[3]{x^3 + 1 - 1} = \sqrt[3]{x^3} = x \] \[ g^{-1}(g(x)) = (g(x))^3 + 1 = (\sqrt[3]{x - 1})^3 + 1 = x - 1 + 1 = x \]
如下所示，函数 \( g \) 和 \( g^{-1} \) 的图像关于直线 \( y = x \) 对称，因此互为反函数。
求函数 \( h(x) = \ln(x - 1) \) 的反函数，并在同一坐标系中绘制 \( h \) 及其反函数的图像。
步骤 1：将函数改写为方程： \[ y = \ln(x - 1) \]
步骤 2：交换 \( x \) 和 \( y \)： \[ x = \ln(y - 1) \]
步骤 3：将对数式转换为指数式解出 \( y \)： \[ y - 1 = e^x \] \[ y = e^x + 1 \]
步骤 4：使用反函数符号表示： \[ h^{-1}(x) = e^x + 1 \]
步骤 5：代数验证： \[ h(h^{-1}(x)) = \ln(h^{-1}(x) - 1) = \ln(e^x + 1 - 1) = \ln(e^x) = x \] \[ h^{-1}(h(x)) = e^{h(x)} + 1 = e^{\ln(x - 1)} + 1 = x - 1 + 1 = x \]
函数 \( h \) 和 \( h^{-1} \) 的图像如下所示。两图像关于直线 \( y = x \) 对称，因此互为反函数。
求函数 \( m(x) = \sqrt{x + 2} \) 的反函数。
步骤 1：将函数改写为方程： \[ y = \sqrt{x + 2} \]
步骤 2：交换 \( x \) 和 \( y \)： \[ x = \sqrt{y + 2} \]
步骤 3：两边平方解出 \( y \)： \[ x^2 = (\sqrt{y + 2})^2 \] \[ x^2 = y + 2 \] \[ y = x^2 - 2 \]
注意 \( y = x^2 - 2 \) 不是一一映射函数，因此不可逆。需要限制其定义域。反函数的定义域是原函数 \( y = \sqrt{x + 2} \) 的值域，即区间 \( [0 , \infty) \)
步骤 4：使用反函数符号表示（限制定义域）： \[ m^{-1}(x) = x^2 - 2 \; , \; x \ge 0 \]
步骤 5：代数验证： \[ m(m^{-1}(x)) = \sqrt{m^{-1}(x) + 2} = \sqrt{x^2 - 2 + 2} = \sqrt{x^2} = |x| = x \quad (\text{因为 } x \ge 0) \] \[ m^{-1}(m(x)) = (m(x))^2 - 2 = (\sqrt{x + 2})^2 - 2 = x + 2 - 2 = x \]
如下图所示，\( m \) 和 \( m^{-1} \) 的图像关于直线 \( y = x \) 对称，因此互为反函数。
求函数 \( t(x) = \dfrac{1}{x-1} \) 的反函数。
步骤 1：将函数改写为方程： \[ y = \dfrac{1}{x-1} \]
步骤 2：交换 \( x \) 和 \( y \)： \[ x = \dfrac{1}{y-1} \]
步骤 3：两边乘以 \( y - 1 \) 解出 \( y \)： \[ x(y - 1) = 1 \] \[ xy - x = 1 \] \[ y = \dfrac{x + 1}{x} \]
步骤 4：使用反函数符号表示： \[ t^{-1}(x) = \dfrac{x + 1}{x} \]
步骤 5：代数验证： \[ t(t^{-1}(x)) = \dfrac{1}{t^{-1}(x) - 1} = \dfrac{1}{\dfrac{x+1}{x} - 1} = \dfrac{1}{\dfrac{x+1-x}{x}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{x}} = x \] \[ t^{-1}(t(x)) = \dfrac{t(x) + 1}{t(x)} = \dfrac{\dfrac{1}{x-1} + 1}{\dfrac{1}{x-1}} = \dfrac{\dfrac{1 + x - 1}{x-1}}{\dfrac{1}{x-1}} = \dfrac{\dfrac{x}{x-1}}{\dfrac{1}{x-1}} = x \]
如下图所示，函数 \( t \) 与其反函数 \( t^{-1} \) 的图像关于直线 \( y = x \) 对称，因此互为反函数。
