分步引导例题
例题 1：有序对集合
求 \( f = \{( -2 , 0) , (0 , 1) , (2 , 3) , (3 , 4)\} \) 的反函数。
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要求一组点的反函数，只需交换 x 和 y 坐标：
\[ f^{-1} = \{(0 , -2) , (1 , 0) , (3 , 2) , (4 , 3)\} \]\( f^{-1} \) 的定义域： \(\{0, 1, 3, 4\}\)
\( f^{-1} \) 的值域： \(\{-2, 0, 2, 3\}\)
例题 2：线性函数
求 \( f(x) = 2x + 2 \) 的反函数。
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- 用 \( y \) 替换 \( f(x) \)：\( y = 2x + 2 \)
- 交换 \( x \) 和 \( y \)：\( x = 2y + 2 \)
- 解出 \( y \)：
\( x - 2 = 2y \)
\( y = \dfrac{1}{2}x - 1 \)
结果： \( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}x - 1 \)
例题 3：立方根函数
求 \( g(x) = \sqrt[3]{x - 1} \) 的反函数。
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- 交换变量：\( x = \sqrt[3]{y - 1} \)
- 两边立方：\( x^3 = y - 1 \)
- 解出 \( y \)：\( y = x^3 + 1 \)
结果： \( g^{-1}(x) = x^3 + 1 \)
例题 4：对数函数
求 \( h(x) = \ln(x - 1) \) 的反函数。
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- 交换变量：\( x = \ln(y - 1) \)
- 转换为指数形式：\( e^x = y - 1 \)
- 解出 \( y \)：\( y = e^x + 1 \)
结果： \( h^{-1}(x) = e^x + 1 \)
例题 5：平方根函数
求 \( m(x) = \sqrt{x + 2} \) 的反函数。
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- 交换变量：\( x = \sqrt{y + 2} \)
- 两边平方：\( x^2 = y + 2 \)
- 解出 \( y \)：\( y = x^2 - 2 \)
重要提示：由于原函数的值域为 \( y \ge 0 \)，因此反函数的定义域必须受到限制。
结果： \( m^{-1}(x) = x^2 - 2 \text{ 其中 } x \ge 0 \)
例题 6：有理函数
求 \( t(x) = \dfrac{1}{x-1} \) 的反函数。
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- 交换变量：\( x = \dfrac{1}{y-1} \)
- 两边同乘以 \((y-1)\)：\( x(y-1) = 1 \)
- 展开并分离 \( y \)：
\( xy - x = 1 \)
\( xy = 1 + x \)
\( y = \dfrac{x+1}{x} \)
结果： \( t^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x} \)
