对角矩阵：定义、性质、运算与示例

对角矩阵的定义

对角矩阵是一个方阵，其中主对角线以外的所有元素均为零。

以下为各种维度的对角矩阵示例：

$$ A = \begin{bmatrix} -6 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$ $$ C = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{bmatrix} \qquad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

对角矩阵的性质

对角矩阵的一些最重要性质包括：

对角矩阵的行列式等于主对角线上所有元素的乘积。
对角矩阵始终是对称矩阵。
对角矩阵可逆（有逆）当且仅当其主对角线上的没有一个元素为零。

对角矩阵的加法与乘法

设 $ A $ 和 $ B $ 为两个相同大小 $ n \times n $ 的对角矩阵：

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & a_{22} & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & b_{22} & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix} $$

矩阵加法：

$$ A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & a_{22} + b_{22} & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} + b_{nn} \end{bmatrix} $$

矩阵乘法：

$$ AB = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & a_{22} b_{22} & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} b_{nn} \end{bmatrix} $$

对角矩阵的逆

设 $ A $ 为如下对角矩阵：

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & a_{22} & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

如果主对角线上没有一个元素 $ a_{ii} $ 等于零，则 $ A $ 可逆，其逆为：

$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{a_{11}} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \dfrac{1}{a_{22}} & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{a_{nn}} \end{bmatrix} $$

对角矩阵的幂

对于任意正整数 $ p $，对角矩阵 $ A $ 的幂通过将每个对角元素提升到 $ p $ 次幂来计算：

$$ A^p = \begin{bmatrix} a_{11}^p & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & a_{22}^p & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^p \end{bmatrix} $$

对角矩阵的特征值与特征向量

对于对角矩阵 $ A $，特征值 $ \lambda_i $ 就是主对角线上的元素，其对应的标准单位向量构成特征向量 $ e_i $：

$$ \lambda_1 = a_{11}, \quad e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \qquad \lambda_2 = a_{22}, \quad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \qquad \dots \qquad \lambda_n = a_{nn}, \quad e_n = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

示例与解答

例 1

以下哪些矩阵是对角矩阵？

a) $ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ b) $ B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $
c) $ C = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} $ d) $ D = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $

查看例 1 的解答

矩阵 $ B $ 和 $ D $ 是对角矩阵，因为它们主对角线以外的所有元素严格为零。

例 2

给定矩阵 $ A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{4} \end{bmatrix} $ 和 $ B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} $，计算乘积 $ AB $。

查看例 2 的解答

$$ AB = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} $$ $$ = \begin{bmatrix} (-1)(-1) & 0 & 0 \\ 0 & \left(-\dfrac{2}{3}\right)(-6) & 0 \\ 0 & 0 & \left(\dfrac{1}{4}\right)(8) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$

例 3

设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} $。计算 $ A^5 $。

查看例 3 的解答

$$ A^5 = \begin{bmatrix} (-1)^5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (2)^5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (-2)^5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 32 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -32 \end{bmatrix} $$

例 4

求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量。

查看例 4 的解答

第一特征对： $ \lambda_1 = 1 $， $ e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $

第二特征对： $ \lambda_2 = -3 $， $ e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $

例 5

求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} -6 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & -\dfrac{2}{3} \end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量。

查看例 5 的解答

$ \lambda_1 = -6 $， $ e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \lambda_2 = \dfrac{1}{5} $， $ e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \lambda_3 = -\dfrac{2}{3} $， $ e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $

例 6

求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量。

查看例 6 的解答

$ \lambda_1 = 1 $， $ e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \lambda_2 = -1 $， $ e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \lambda_3 = 9 $， $ e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \lambda_4 = 1 $， $ e_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $

习题（含解答）

第 1 部分： 求实数常数 $ a $ 和 $ b $，使得 $ A^{-1} = A $，其中 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b+1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $。
第 2 部分： 求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量。
第 3 部分： 求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量。

查看练习题的解答

第 1 部分解答：

首先，求逆矩阵：

$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{b+1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

令 $ A^{-1} = A $ 得到对角元素的方程：

$ a = \dfrac{1}{a} \implies a^2 = 1 \implies a = 1 $ 或 $ a = -1 $

$ \dfrac{1}{b+1} = b+1 \implies (b+1)^2 = 1 \implies b = 0 $ 或 $ b = -2 $

因此，有效的数对为：

$ (a=1, b=0), \quad (a=1, b=-2), \quad (a=-1, b=0), \quad (a=-1, b=-2) $

第 2 部分解答：

$ \lambda_1 = 1 $， $ e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \lambda_2 = 1 $， $ e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \lambda_3 = 0 $， $ e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $

第 3 部分解答：

$ \lambda_1 = 2 $， $ e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \lambda_2 = 2 $， $ e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \lambda_3 = -2 $， $ e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \lambda_4 = -2 $， $ e_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $

对角矩阵

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