数学中的根式是什么？

本文通过示例和详细解答定义了数学中的根式。同时也提供了问题及其解答。\( \) \( \)

\( n \) 次幂

让我们用下图表示以下 2 次幂（或指数）运算： 2次幂运算更多 2 次幂运算的输入和输出示例：
输入 = \( 4 \quad , \quad \) 输出 = \( 4^2 = 4 \times 4 = 16 \)
输入 = \( 10 \quad , \quad \) 输出 = \( 10^2 = 10 \times 10 = 100 \)
下图表示 3 次幂（或指数）运算。 3次幂运算更多 3 次幂运算的输入和输出示例：
输入 = \( 3 \quad , \quad \) 输出 = \( 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
输入 = \( 1 \quad , \quad \) 输出 = \( 1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1 \)
输入 = \( 4 \quad , \quad \) 输出 = \( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \)
一般的 \( n \) 次幂 \[ a^n = a \times a \times a .... \times a \quad , \text{n 次} \]

根式的定义

指数为 2 的根式（或称平方根）是 2 次幂的逆运算

现在让我们用下图表示 2 次幂运算的逆运算。
我们将上面 2 次幂运算中的输入 \( 3 \) 和输出 \( 9 \) 互换，分别变为下面逆运算中的输出 \( 3 \) 和输入 \( 9 \)。指数为2的根式或平方根运算我们写作： \[ \sqrt[\color\red{\Large 2}]{ 9 } = 3 \text{ 因为 } 9 = 3^{\color\red{2}} \]
更多输入和输出示例：
输入 = \( 16 \quad , \quad \) 输出 = \( \sqrt[2]{16} = 4 \quad \text{因为} \quad 4^2 = 16 \)
输入 = \( 25 \quad , \quad \) 输出 = \( \sqrt[2]{25} = 5 \quad \text{因为} \quad 5^2 = 25 \)
符号 \( \sqrt{ } \) 称为根号，\( 2 \) 是根式的指数。根号内的数字（或表达式）称为被开方数。此运算称为平方根运算。根号、被开方数和指数
注意按照惯例，指数为 2 的根式（或平方根）符号写作 \( \sqrt{\;\;} \) 而不写指数 \( 2 \)。

指数为 3 的根式（或称立方根）是 3 次幂的逆运算

下图所示的 3 次幂运算的逆运算称为立方根。指数为3的根式或立方根运算我们写作： \[ \sqrt[\color\red{\Large 3}]{ 8 } = 2 \text{ 因为 } 8 = 2^{\color\red{3}} \]
更多输入和输出示例：
输入 = \( 27 \) , 输出 = \( \sqrt[3]{27} = 3 \) 因为 \( 3^3 = 27 \)
输入 = \( 125 \) , 输出 = \( \sqrt[3]{125} = 5 \) 因为 \( 5^3 = 125 \)

一般地，指数为 \( n \) 的根式（或称 \(n^{th}\) 根）是 \( n \) 次幂的逆运算

我们现在推广并定义指数为 \( n \) 的根式，其中 \( n \) 是整数。

如果 \( y = a^n \)，那么 \( \sqrt[n]{y} = a \) (I)

更多示例
\( y = 3^5 = 243 \)，因此 \( \sqrt[5]{243} = 3 \)
\( y = 10^6 = 1000000 \)，因此 \( \sqrt[6]{1000000} = 10 \)
\( y = (-2)^3 = -8 \)，因此 \( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
\( y = 1^{20} = 1 \)，因此 \( \sqrt[20]{1} = 1 \) 一般地，对于任何整数 \( n \)，\( \sqrt[n]{1} = 1 \)
\( y = 0^9 = 0 \)，因此 \( \sqrt[9]{0} = 0 \) 一般地，对于任何整数 \( n \)，\( \sqrt[n]{0} = 0 \)
注意如果 \( n \) 是偶数且 \( y \) 是负数，则关系式 (I) 不成立。
a) \( \sqrt{-16} \) 在实数范围内未定义，因为不存在实数 \( x \) 使得 \( x^2 = -16 \)，因为实数的平方总是非负的。
b) \( \sqrt[4]{-1} \) 在实数范围内未定义，因为不存在实数 \( x \) 使得 \( x^4 = - 1 \)，原因同上。

幂运算与对应的根式运算相互抵消

我们说根式和对应的（相同指数）幂运算相互抵消。如果我们连续应用这两种运算，输出等于输入，因为这两种运算是互逆的。
指数为 2 的根式（或平方根）抵消 2 次幂，如下图所示，输出等于输入。指数为2的根式抵消2次幂上式可写作 \[ \sqrt{3^2} = 3 \]
2 次幂抵消指数为 2 的根式（或平方根），如下图所示，输出等于输入。
2次幂抵消指数为2的根式
上式可写作 \[ (\sqrt{9})^2 = 9 \]
注意指数为 \(2 \) 的根式写作 \( \sqrt{\;\;} \)（即不写指数）

更多示例： \( (\sqrt {12})^2 = 12 \) , \( \sqrt {8^2} = 8 \)
指数为 3 的根式（或立方根）和 3 次幂相互抵消。
示例： \( (\sqrt[3]{5})^3 = 5 \) , \( (\sqrt[3]{10})^3 = 10 \)
一般地，对于 \( a \ge 0 \)，我们可以写

\( \sqrt[n]{a^n} = a \) , \( (\sqrt[n]{a}\;)^n = a \) (II)

问题（解答在下方）

请勿使用计算器回答以下问题

第 1 部分 - 已知：
\( 2^6 = 64 \) , \( \; 3^5 = 243 \) , \( \; 5^3 = 125 \), \( \; 0^7 = 0 \), \( \; 1^{20} = 1 \), \( \; 2^9 = 512 \), \( \; 5^5 = 3125 \), \( \; 10^5 = 100000 \) , \( \; 0.1^3 = 0.001 \)
求下列各式的值：
\( \sqrt{512} \) , \( \; \sqrt[5]{3125} \) , \( \; \sqrt[5]{243} \) , \( \; \sqrt[6]{64} \) , \( \; \sqrt[3]{0.001} \) , \( \; \sqrt[20]{1} \) , \( \; \sqrt[5]{100000} \) , \( \; \sqrt[7]{0} \) , \( \; \sqrt[3]{125} \)
第 2 部分 - 已知：
\( \sqrt{64} = 8 \) , \( \; \sqrt[5]{7776} = 6\) , \( \; \sqrt[3]{1000} = 10 \) , \( \; \sqrt[7]{128} = 2\) , \( \; \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1\) , \( \; \sqrt{10000} = 100\) , \( \; \sqrt[4]{20736} = 12\) , \( \; \sqrt[9]{512} = 2\)
求下列各式的值：
\( 2^7 \) , \( \; 0.1^7 \) , \( \; 6^5 \) , \( \; 8^2 \) , \( \; 2^9 \) , \( \; 12^4 \) , \( \; 10^3 \) \( \; 100^2 \)
第 3 部分 - 化简下列各式：
\( \sqrt{5^2} \) , \( \; (\sqrt[5]{3})^5\) , \( \; \sqrt[3]{10^3} \) , \( \; (\sqrt[7]{128})^7 \)

以上问题的解答

第 1 部分
已知： \( 2^6 = 64 \) , \( \; 3^5 = 243 \) , \( \; 5^3 = 125 \), \( \; 0^7 = 0 \), \( \; 1^{20} = 1 \), \( \; 2^{9} = 512 \) , \( \; 5^5 = 3125 \), \( \; 10^5 = 100000 \) , \( \; 0.1^3 = 0.001 \)
\( \sqrt{512} = 9 \) 因为已知 \( \; 2^9 = 512 \)（记住当根式的指数为 \(2 \) 时不写）。
\( \sqrt[5]{3125} = 5\) 因为 \( 5^5 = 3125 \)
\( \sqrt[5]{243} = 3 \) 因为 \( 3^5 = 243 \)
\( \sqrt[6]{64} = 2\) 因为 \( 2^6 = 64 \)
\( \sqrt[3]{0.001} = 0.1\) 因为 \( 0.1^3 = 0.001 \)
\( \sqrt[20]{1} = 1 \) 因为 \( 1^{20} = 1 \) 且注意对于任何 \( n \gt 0 \) , \( \sqrt[n]{1} = 1 \)
\( \sqrt[5]{100000} = 10 \) 因为 \( 10^5 = 100000 \)
\( \sqrt[7]{0} = 0 \) 因为 \( 0^7 = 0 \) 且注意对于任何 \( n \gt 0 \) , \( \sqrt[n]{0} = 0 \)
\( \sqrt[3]{125} = 5\) 因为 \( 5^3 = 125 \) （译者注：原文为 3，应为 5）
第 2 部分
已知： \( \sqrt{64} = 8 \) , \( \; \sqrt[5]{7776} = 6\) , \( \; \sqrt[3]{1000} = 10 \) , \( \; \sqrt[7]{128} = 2\) , \( \; \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1\) , \( \; \sqrt{10000} = 100\) , \( \; \sqrt[4]{20736} = 12\) , \( \; \sqrt[9]{512} = 2\)
\( 2^7 = 128 \) 因为已知 \( \sqrt[7]{128} = 2\)
\( 0.1^7 = 0.0000001 \) 因为 \( \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1\)
\( 6^5 = 7776 \) 因为 \( \sqrt[5]{7776} = 6\)
\( 8^2 = 64 \) 因为 \( \sqrt{64} = 8 \)
\(2^9 = 512\) 因为 \( \sqrt[9]{512} = 2 \)
\( 12^4 = 20736 \) 因为 \( \sqrt[4]{20736} = 12 \)
\(10^3 = 1000 \) 因为 \( \sqrt[3]{1000} = 10 \)
\(100^2 = 10000 \) 因为 \( \sqrt{10000} = 100 \)
第 3 部分
\( \sqrt{5^2} = 5 \) 因为平方根（指数为2的根式）和 2 次幂相互抵消
\( (\sqrt[5]{3})^5 = 3 \) 因为 5 次幂和指数为 5 的根式相互抵消
\( \sqrt[3]{10^3} = 10 \) 因为立方根（指数为3的根式）和 3 次幂相互抵消（译者注：原文缺少“=10”）
\( (\sqrt[7]{128})^7 = 128 \) 因为 7 次幂和指数为 7 的根式相互抵消