Les étapes pour prouver la règle du produit de dérivation sont présentées ainsi que des exemples, des exercices et des solutions.
Dérivée du produit de deux fonctions (Preuve)
La dérivée \( f'(x) \) de la fonction \( f(x) \) est définie comme suit :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (1) \]Soit une fonction \( f(x) \) donnée par le produit de deux fonctions \( u(x) \) et \( v(x) \), écrite sous la forme :
\[ f(x) = u(x)v(x) \]En utilisant la définition de la dérivée en (1), la dérivée de \( f(x) = u(x)v(x) \) est donnée par :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (2) \]Soustraire et additionner la même quantité (\( u(x)v(x+h) \)) au numérateur de (2) ne modifie pas sa valeur :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h)}{h} \qquad (3) \]Séparons la fraction en deux parties :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \right) \qquad (4) \]D'après les propriétés des limites, la limite d'une somme est égale à la somme des limites :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (5) \]Utilisons la mise en facteur pour réécrire les termes :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ v(x+h) \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right] + \lim_{h \to 0} \left[ u(x) \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right] \qquad (6) \]Puisque la limite d'un produit est le produit des limites :
\[ f'(x) = \left( \lim_{h \to 0} v(x+h) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right) + \left( \lim_{h \to 0} u(x) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right) \qquad (7) \]Évaluons les limites individuelles :
- \( \lim_{h \to 0} v(x+h) = v(x) \)
- \( \lim_{h \to 0} u(x) = u(x) \)
- \( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} = u'(x) \) (par la définition 1)
- \( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} = v'(x) \) (par la définition 1)
Substituons ces limites dans (7) pour obtenir :
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]Exemples avec solutions
Exemple 1
Trouvez les dérivées de :
a) \( f(x) = x \ln(x) \) b) \( g(x) = \sin(x)e^x \)
Solution de l'exemple 1
a) Soit \( u(x) = x \) et \( v(x) = \ln x \). Écrivons \( f(x) = u(x)v(x) \).
En utilisant la formule de la règle du produit (I) :
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]Puisque \( u'(x) = 1 \) et \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \) :
\[ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]b) Soit \( w(x) = \sin(x) \) et \( z(x) = e^x \). Écrivons \( g(x) = w(x)z(x) \).
En utilisant la formule de la règle du produit (I) :
\[ g'(x) = w'(x)z(x) + w(x)z'(x) \]Puisque \( w'(x) = \cos(x) \) et \( z'(x) = e^x \) :
\[ g'(x) = \cos(x)e^x + \sin(x)e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]Exemple 2
Calculez la dérivée de :
\[ h(x) = (2x + 3)\cos(x)\ln x \]Solution de l'exemple 2
La fonction \( h(x) \) est le produit de trois fonctions. Soit \( u = 2x + 3 \), \( v = \cos(x) \) et \( w = \ln x \), de sorte que \( h(x) = u(x)v(x)w(x) \).
En appliquant la règle du produit pour trois fonctions :
\[ h'(x) = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x) \]Évaluons les dérivées individuelles :
\[ u'(x) = 2, \quad v'(x) = -\sin(x), \quad w'(x) = \dfrac{1}{x} \]Substituons ces expressions dans la formule :
\[ h'(x) = 2\cos(x)\ln x - (2x + 3)\sin(x)\ln x + \dfrac{(2x + 3)\cos(x)}{x} \]Exercices
Trouvez les dérivées des fonctions :
- \( f(x) = (3x - 5)\cos(x) \)
- \( g(x) = (-4x + 3)e^x \)
- \( h(x) = x^3 \sin(x)e^x \)
Solutions des exercices ci-dessus
- \( f'(x) = 3\cos(x) - (3x - 5)\sin(x) \)
- \( g'(x) = -4e^x + (-4x + 3)e^x = (-4x - 1)e^x \)
- \( h'(x) = 3x^2\sin(x)e^x + x^3\cos(x)e^x + x^3\sin(x)e^x = 3x^2\sin(x)e^x + (\cos(x) + \sin(x))x^3e^x \)