Les étapes pour prouver la règle du quotient de dérivation à partir de la règle du produit de dérivation sont présentées ainsi que des exemples, des exercices et des solutions.
Dérivée du quotient de deux fonctions (Preuve)
Soit une fonction \( f(x) \) donnée par le quotient de deux fonctions \( u(x) \) et \( v(x) \), écrite sous la forme :
\[ f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \qquad (1) \]Multiplions les deux côtés de l'équation ci-dessus par \( v(x) \) et simplifions :
\[ f(x)v(x) = u(x) \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ (f(x)v(x))' = u'(x) \]Appliquons la règle du produit de dérivation au côté gauche :
\[ f'(x)v(x) + f(x)v'(x) = u'(x) \]Isolons \( f'(x) \) dans l'équation :
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - f(x)v'(x)}{v(x)} \]Substituons \( f(x) \) par \( \dfrac{u(x)}{v(x)} \) tel que défini en (1) :
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - \dfrac{u(x)}{v(x)}v'(x)}{v(x)} \]Réécrivons le numérateur avec un dénominateur commun et simplifions :
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \]Exemples avec solutions
Exemple 1
Trouvez les dérivées de :
a) \( f(x) = \dfrac{x}{\ln x} \) b) \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
Solution de l'exemple 1
a) Soit \( u(x) = x \) et \( v(x) = \ln x \). Écrivons \( f(x) = \dfrac{u}{v} \).
En utilisant la règle du quotient (I) :
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (2) \]Puisque \( u'(x) = 1 \) et \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \) :
\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \]b) Soit \( w(x) = \sin x \) et \( z(x) = \cos x \). Écrivons \( g(x) = \dfrac{w}{z} \).
En utilisant la règle du quotient (I) :
\[ g'(x) = \dfrac{w'(x)z(x) - w(x)z'(x)}{(z(x))^2} \qquad (3) \]Puisque \( w'(x) = \cos x \) et \( z'(x) = -\sin x \) :
\[ g'(x) = \dfrac{\cos x \cos x - \sin x(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]En utilisant l'identité \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) :
\[ g'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]Exemple 2
Calculez la dérivée de :
\[ h(x) = \dfrac{x \ln x}{\sin x \, e^x} \]Solution de l'exemple 2
Soit \( u(x) = x \ln x \) et \( v(x) = \sin x \, e^x \). Écrivons \( h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \).
En utilisant la règle du quotient (I) :
\[ h'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (4) \]Calculons \( u'(x) \) en utilisant la règle du produit :
\[ u'(x) = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]Calculons \( v'(x) \) en utilisant la règle du produit :
\[ v'(x) = (\sin x)'e^x + \sin x(e^x)' = \cos x \, e^x + \sin x \, e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]Substituons dans (4) :
\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)(\sin x \, e^x) - (x \ln x)((\cos x + \sin x)e^x)}{(\sin x \, e^x)^2} \]Mettons en facteur et simplifions \( e^x \) :
\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)\sin x - x \ln x(\cos x + \sin x)}{\sin^2 x \, e^x} \]Exercices
Trouvez les dérivées des fonctions :
- \( f(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin x} \)
- \( g(x) = \dfrac{-2x + 4}{e^x} \)
- \( h(x) = \dfrac{2x \, e^x}{x \sin x} \)
Solutions des exercices ci-dessus
- \( f'(x) = \dfrac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \)
- \( g'(x) = \dfrac{-2e^x - (-2x + 4)e^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{2(-x + 3)}{e^x} \)
- \( h'(x) = \dfrac{(2(1 + x)e^x)(x \sin x) - (2x \, e^x)(\sin x + x \cos x)}{(x \sin x)^2} = 2(\csc x - \cot x \csc x)e^x \)