Tutoriel pour trouver des intégrales impliquant le produit de \( \sin(x) \) ou \( \cos(x) \) avec des fonctions exponentielles. Des exercices avec réponses sont fournis au bas de la page.
Toutes les intégrales incluses dans les exemples ci-dessous sont évaluées à l'aide de l'intégration par parties, donnée par :
\[ \int U \dfrac{dV}{dx} \, dx = UV - \int \dfrac{dU}{dx} V \, dx \]L'intégration par parties est particulièrement utile pour évaluer des intégrales de produits de fonctions de la forme \( U \dfrac{dV}{dx} \).
Remarque : Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration.
Exemples avec solutions détaillées
Exemple 1
Évaluez l'intégrale :
\[ \int \sin(x) e^x \, dx \]Solution de l'exemple 1
Posons \( u = \sin(x) \) et \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), ce qui donne \( u' = \cos(x) \) et \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \).
En utilisant l'intégration par parties :
\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \int \cos(x)e^x \, dx \]Appliquons l'intégration par parties une deuxième fois au terme \( \displaystyle \int \cos(x)e^x \, dx \) :
\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \left( \cos(x)e^x - \int (-\sin(x))e^x \, dx \right) \] \[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x - \int \sin(x)e^x \, dx \]Puisque l'intégrale sur le côté droit est la même que l'intégrale d'origine, nous pouvons les combiner en ajoutant \( \int \sin(x)e^x \, dx \) aux deux côtés :
\[ 2 \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x \]En divisant par 2, on obtient le résultat final :
\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \dfrac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \]Exemple 2
Évaluez l'intégrale :
\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx \]Solution de l'exemple 2
Posons \( u = \cos(2x) \) et \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), ce qui donne \( u' = -2\sin(2x) \) et \( v = e^x \).
Appliquons l'intégration par parties :
\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x - \int e^x (-2\sin(2x)) \, dx \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2 \int e^x \sin(2x) \, dx \end{aligned} \]Appliquons l'intégration par parties à la nouvelle intégrale \( \int e^x \sin(2x) \, dx \) (en posant \( w = \sin(2x) \) et \( dw/dx = e^x \)) :
\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x + 2 \left( \sin(2x)e^x - 2 \int \cos(2x)e^x \, dx \right) \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2\sin(2x)e^x - 4 \int \cos(2x)e^x \, dx \end{aligned} \]En regroupant les intégrales identiques du côté gauche :
\[ 5 \int \cos(2x)e^x \, dx = e^x (\cos(2x) + 2\sin(2x)) \]Ainsi, l'intégrale est :
\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx = \dfrac{1}{5} e^x ( \cos(2x) + 2 \sin(2x) ) + C \]Exemple 3
Évaluez l'intégrale :
\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx \]Solution de l'exemple 3
Posons \( u = \sin(3x + 2) \) et \( \dfrac{dv}{dx} = e^{3x} \), ce qui donne \( u' = 3\cos(3x + 2) \) et \( v = \dfrac{1}{3}e^{3x} \).
Appliquons l'intégration par parties :
\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3}\sin(3x + 2)e^{3x} - \int \cos(3x + 2) \left(\dfrac{1}{3}e^{3x}\right) \, dx \]Appliquons l'intégration par parties une fois de plus à \( \int \cos(3x + 2) e^{3x} \, dx \) :
\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - \left( \dfrac{1}{3}\cos(3x + 2)e^{3x} + \int \sin(3x + 2)e^{3x} \, dx \right) \]En regroupant les intégrales :
\[ 2 \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} \left( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) \right) \]En divisant par 2 :
\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{6} e^{3x} ( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) ) + C \]Exemple 4
Évaluez l'intégrale :
\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \]Solution de l'exemple 4
Posons \( u = \cos(4x) \) et \( \dfrac{dv}{dx} = e^{2x + 5} \). En appliquant deux fois l'intégration par parties :
\[ \begin{aligned} \int \cos(4x)e^{2x + 5} \, dx &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \int e^{2x + 5} \sin(4x) \, dx \\[6pt] &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \left( \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \sin(4x) - 2 \int e^{2x + 5} \cos(4x) \, dx \right) \end{aligned} \]En simplifiant et en rassemblant les termes :
\[ 5 \int \cos(4x) e^{2x+5} \, dx = \dfrac{1}{2} e^{2x+5} \cos(4x) + e^{2x+5} \sin(4x) \]En divisant par 5, on obtient la solution finale :
\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \dfrac{1}{10} e^{2x + 5} ( \cos(4x) + 2 \sin(4x) ) + C \]Exercices
Évaluez les intégrales suivantes :
- \( \displaystyle \int \cos(x) \, e^x \, dx \)
- \( \displaystyle \int \sin(2x) \, e^{3x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \cos(-3x + 5) \, e^{5x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \sin(-4x + 3) \, e^{-2x + 1} \, dx \)
Réponses aux exercices ci-dessus
- \( \dfrac{1}{2} e^x ( \cos(x) + \sin(x) ) + C \)
- \( \dfrac{1}{13} e^{3x} ( 3 \sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C \)
- \( \dfrac{1}{34} e^{5x} ( 5 \cos(-3x + 5) - 3 \sin(-3x + 5) ) + C \)
- \( \dfrac{1}{10} e^{-2x + 1} ( 2 \cos(-4x + 3) - \sin(-4x + 3) ) + C \)