Trouvez l'aire entre des courbes en utilisant des intégrales définies. Des tutoriels sur les applications des intégrales pour calculer des aires entre des courbes, accompagnés d'exemples et de solutions détaillées, sont présentés. Ce tutoriel est la suite du tutoriel sur l'aire sous une courbe. Il commence par des exemples évidents pour aller vers des exemples plus complexes, qu'il convient de maîtriser pour une compréhension approfondie des applications des intégrales.
Formules d'aires entre des courbes
Nous pouvons trouver l'aire entre deux courbes en soustrayant l'aire correspondant à la courbe inférieure de l'aire de la courbe supérieure comme suit :
1) Si \( f \) et \( h \) sont des fonctions de \( x \) telles que \( f(x) \ge h(x) \) pour tout \( x \) dans l'intervalle \( [x_1, x_2] \), l'aire représentée ci-dessous (en bleu) est donnée par :
2) Si \( Z \) et \( X \) sont des fonctions de \( y \) telles que \( Z(y) \ge X(y) \) pour tout \( y \) dans l'intervalle \( [y_1, y_2] \), l'aire représentée ci-dessous (en bleu) est donnée par :
Exemples avec solutions détaillées
Exemple 1
Trouvez l'aire de la région délimitée entre les courbes définies par les équations \( y = x^2 - 2x + 2 \) et \( y = -x^2 + 6 \).
Solution de l'exemple 1
Traçons d'abord les deux équations et examinons la région délimitée entre les courbes.
La région dont l'aire est recherchée est limitée au-dessus par la courbe \( y = -x^2 + 6 \) et en dessous par la courbe \( y = x^2 - 2x + 2 \). Les extrémités gauche et droite de la région sont les points d'intersection des courbes, trouvés en résolvant le système d'équations :
\[ \begin{cases} y = x^2 - 2x + 2 \\ y = -x^2 + 6 \end{cases} \]Substituons \( y \) pour obtenir une équation à une seule variable :
\[ x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 6 \]Réécrivons sous forme standard :
\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies 2(x + 1)(x - 2) = 0 \]Ce qui donne les solutions :
\[ x = -1 \quad \text{et} \quad x = 2 \]Entre les points d'intersection, \( -x^2 + 6 \ge x^2 - 2x + 2 \). Soit \( f(x) = -x^2 + 6 \) et \( h(x) = x^2 - 2x + 2 \), et appliquons la formule (1) :
\[ \begin{aligned} A &= \int_{-1}^{2} \big(f(x) - h(x)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big((-x^2 + 6) - (x^2 - 2x + 2)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big(-2x^2 + 2x + 4\big)\, dx \\ &= \Big[-\tfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\Big]_{-1}^{2} = 9 \end{aligned} \]Conclusion : L'aire de la région délimitée entre les courbes est égale à \( 9 \).
Exemple 2
Trouvez l'aire de la région délimitée entre les courbes définies par les équations \( y = \sqrt{x + 2} \), \( y = x \) et \( y = 0 \).
Solution de l'exemple 2
Examinons la région en utilisant deux méthodes.
Méthode 1 : Intégration par rapport à \( x \)
La région allant de \( x = -2 \) à \( x = 0 \) se trouve sous la courbe \( y = \sqrt{x + 2} \), son aire \( A_1 \) est donc :
\[ \begin{aligned} A_1 &= \int_{-2}^{0} \sqrt{x + 2}\, dx = \left[ \frac{2}{3} (x + 2)^{3/2} \right]_{-2}^{0} = \frac{2}{3} (2^{3/2}) \end{aligned} \]La région allant de \( x = 0 \) au point d'intersection de \( y = \sqrt{x + 2} \) et \( y = x \) :
\[ \sqrt{x + 2} = x \implies x + 2 = x^2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x = 2 \]L'aire \( A_2 \) de \( x = 0 \) à \( x = 2 \) est :
\[ \begin{aligned} A_2 &= \int_{0}^{2} \big(\sqrt{x + 2} - x\big)\, dx = \left[ \frac{2}{3}(x + 2)^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 - \frac{2}{3}(2)^{3/2} \end{aligned} \]Aire totale :
\[ A_1 + A_2 = \dfrac{10}{3} \; \text{unité}^2 \]Méthode 2 : Intégration par rapport à \( y \)
Exprimons \( x \) en fonction de \( y \) : la courbe de droite est \( x = y \), la courbe de gauche est \( x = y^2 - 2 \). Les limites de \( y \) vont de \( y = 0 \) à \( y = 2 \) :
\[ \begin{aligned} \text{Aire} &= \int_{0}^{2} \big( y - (y^2 - 2) \big)\, dy = \int_{0}^{2} \left( -y^2 + y + 2 \right)\, dy \\ &= \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{0}^{2} = \frac{10}{3} \; \text{unité}^2 \end{aligned} \]Notez que la seconde méthode est beaucoup plus rapide.
Exemple 3
Trouvez l'aire de la région délimitée par les courbes \( y = \sin(x) \), \( y = \cos(x) \), \( x = 0 \) et \( x = 2\pi \).
Solution de l'exemple 3
Trouvons les points d'intersection où \( \sin(x) = \cos(x) \implies \tan(x) = 1 \). Entre \( 0 \) et \( 2\pi \), les solutions sont \( x = \pi/4 \) et \( x = 5\pi/4 \).
Divisons en 3 régions :
- Région 1 (\( 0 \) à \( \pi/4 \)) : \( \cos x \ge \sin x \) \[ A_1 = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} - 1 \]
- Région 2 (\( \pi/4 \) à \( 5\pi/4 \)) : \( \sin x \ge \cos x \) \[ A_2 = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x)\, dx = 2\sqrt{2} \]
- Région 3 (\( 5\pi/4 \) à \( 2\pi \)) : \( \cos x \ge \sin x \) \[ A_3 = \int_{5\pi/4}^{2\pi} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} + 1 \]
Aire totale \( A = A_1 + A_2 + A_3 = 4\sqrt{2} \; \text{unité}^2 \).
Exemple 4
Ci-dessous sont tracées les courbes \( y = 3x - x^2 \) et \( y = 0.5x \). Trouvez le rapport entre l'aire de la région A et l'aire de la région B.
Solution de l'exemple 4
Trouvons l'intersection de \( y = 3x - x^2 \) et \( y = 0.5x \) :
\[ 3x - x^2 = 0.5x \implies 2.5x - x^2 = 0 \implies x(2.5 - x) = 0 \implies x = 0, \; x = 2.5 \]Aire de la région A :
\[ A = \int_{0}^{2.5} (3x - x^2 - 0.5x)\, dx = \int_{0}^{2.5} (2.5x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{2.5x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{2.5} = \dfrac{125}{48} \; \text{unités}^2 \]Aire totale sous la courbe \( y = 3x - x^2 \) de \( x = 0 \) à \( x = 3 \) :
\[ A_t = \int_{0}^{3} (3x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{3x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{3} = \dfrac{9}{2} \; \text{unités}^2 \]L'aire de la région B est \( B = A_t - A \). Le rapport \( r = \dfrac{A}{B} = \dfrac{A}{A_t - A} = \dfrac{125/48}{9/2 - 125/48} = \dfrac{125}{91} \).
Exemple 5
Trouvez l'aire de la région de chevauchement des cercles d'équations : \( x^2 + y^2 = 4 \) et \( x^2 + (y - 2)^2 = 1 \).
Solution de l'exemple 5
Développons l'équation du second cercle : \( x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 \). En soustrayant de \( x^2 + y^2 = 4 \), on obtient \( y = 7/4 \). En substituant dans \( x^2 + y^2 = 4 \), on trouve \( x = \pm\sqrt{15}/4 \).
La courbe supérieure est \( y = \sqrt{4 - x^2} \) et la courbe inférieure est \( y = 2 - \sqrt{1 - x^2} \). Par symétrie, la moitié de l'aire \( A' \) de \( x = 0 \) à \( x = \sqrt{15}/4 \) est :
\[ A' = \int_{0}^{\sqrt{15}/4} \left(\sqrt{4 - x^2} - 2 + \sqrt{1 - x^2}\right) dx \approx 0.70153 \]Aire totale de chevauchement \( A = 2A' \approx 1.4 \; \text{unité}^2 \).
Exercices
- Trouvez l'aire de la région délimitée par \( y = (x - 1)^2 + 3 \) et \( y = 7 \).
- Trouvez l'aire de la région délimitée par \( x = 0 \) à gauche, \( x = 2 \) à droite, \( y = x^3 \) au-dessus et \( y = -1 \) en dessous.
- Trouvez l'aire délimitée par les courbes \( y = \dfrac{1}{x^2} \), \( y = x \) et \( y = 3 \).
Solutions des exercices ci-dessus
- \( \dfrac{32}{3} \)
- \( 6 \)
- \( 2(3 - \sqrt{3}) \)