Le volume d'une calotte sphérique est calculé à l'aide d'intégrales et de la méthode des disques présentée dans "Volume d'un solide de révolution".
Une calotte sphérique est définie comme une portion d'une sphère coupée par un plan.
Démonstration de la formule du volume d'une calotte sphérique
Considérons une calotte sphérique provenant d'une sphère de rayon \( R \) et de hauteur \( h \). Une calotte sphérique peut être générée en faisant tourner la courbe de \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), qui représente un demi-cercle, autour de l'axe des x avec \( x \) dans l'intervalle \( R - h \le x \le R \).
Considérons un petit disque (représenté par des lignes pointillées) ayant une largeur \( dx \) et un rayon égal à \( y \). Le volume du disque est donné par \( \pi y^2 \, dx \), et par conséquent l'intégrale sur \( x \) dans l'intervalle \( [R - h, R] \) donne le volume total de la calotte :
\[ \text{Volume} = \int_{R-h}^{R} \pi y^2 \, dx \]Puisque \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), l'intégrale du volume devient :
\[ \text{Volume} = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2) \, dx \]Évaluation de l'intégrale :
\[ \text{Volume} = \pi \left[ R^2 x - \dfrac{1}{3}x^3 \right]_{R-h}^{R} \]Substituez les limites supérieure et inférieure :
\[ \text{Volume} = \pi \left\{ \left( R^3 - \dfrac{1}{3}R^3 \right) - \left( R^2(R - h) - \dfrac{1}{3}(R - h)^3 \right) \right\} \]La simplification de l'expression algébrique ci-dessus donne la formule finale du volume :
\[ \Large \displaystyle \color{red}{\text{Volume} = \dfrac{\pi}{3}(3Rh^2 - h^3)} \]