Le théorème des accroissements finis est l'un des théorèmes les plus importants en analyse. Il est abordé ici à l'aide d'exemples et de graphiques. Une fois ce tutoriel terminé, vous voudrez peut-être résoudre des problèmes liés au théorème des accroissements finis.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Théorème des accroissements finis
Soit \( f(x) \) une fonction continue sur l'intervalle fermé \( [a, b] \) et dérivable sur l'intervalle ouvert \( (a, b) \). Il existe alors au moins une valeur \( c \) de \( x \) dans l'intervalle \( (a, b) \) telle que :
\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]ou
\[ f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) \]En d'autres termes, la droite tangente au graphe de \( f \) en \( c \) et la sécante passant par les points \( (a, f(a)) \) et \( (b, f(b)) \) ont des pentes égales et sont par conséquent parallèles.
Exemples sur les applications du théorème des accroissements finis
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Exemple 1
Utilisez le théorème des accroissements finis pour trouver la valeur \( c \) de \( x \) dans l'intervalle \( [1, 5] \) telle qu'en le point \( (c, f(c)) \), la tangente à la courbe \( f(x) = -x^2 + 7x - 6 \) soit parallèle à la sécante passant par les points \( (1, f(1)) \) et \( (5, f(5)) \).
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La pente de la tangente au point \( (c, f(c)) \) est donnée par :
\[ f'(c) \]où \( f' \) est la dérivée première. La pente de la sécante passant par \( (1, f(1)) \) et \( (5, f(5)) \) est donnée par :
\[ \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]Pour que la tangente soit parallèle à la sécante, leurs pentes doivent être égales, d'où :
\[ f'(c) = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]La fonction \( f \) est une fonction polynomiale (du second degré) et est par conséquent continue et dérivable sur l'intervalle \( [1, 5] \). Le théorème des accroissements finis garantit donc qu'il existe au moins une valeur de \( x (= c) \) pour laquelle l'égalité ci-dessus est vérifiée.
La dérivée première est :
\[ f'(x) = -2x + 7 \]La pente \( m_1 \) de la tangente à la courbe en \( x = c \) est :
\[ m_1 = f'(c) = -2c + 7 \]La pente \( m_2 \) de la sécante passant par les points \( (1, f(1)) \) et \( (5, f(5)) \) est :
\[ m_2 = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \dfrac{4 - 0}{4} = 1 \]En posant \( m_1 = m_2 \), on obtient l'équation :
\[ -2c + 7 = 1 \implies -2c = -6 \implies c = 3 \]Vérification graphique :
Le point de tangence en \( x = c \) est donné par \( (3, f(3)) = (3, 6) \).
Équation de la tangente :
\[ y - 6 = 1(x - 3) \implies y = x + 3 \]La figure 2 ci-dessous présente les graphiques de la fonction donnée et de la tangente à la courbe de \( f \). La tangente et la sécante ont des pentes égales et sont donc parallèles.
Remarque : Il peut y avoir plus d'une valeur de \( x (= c) \) qui satisfait le théorème des accroissements finis, comme le montre l'exemple 2 ci-dessous.
Exemple 2
Utilisez le théorème des accroissements finis pour trouver toutes les valeurs de \( x \) dans l'intervalle \( [0, 3] \) telles qu'en les points \( (c, f(c)) \), la tangente à la courbe \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + 1 \) soit parallèle à la sécante passant par les points \( (0, f(0)) \) et \( (3, f(3)) \).
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La fonction \( f \) est une fonction polynomiale et est par conséquent continue et dérivable sur l'intervalle \( [0, 3] \). Le théorème des accroissements finis prédit donc qu'il existe au moins une valeur de \( x (= c) \) telle que la tangente à la courbe de \( f \) en \( x = c \) et la sécante soient parallèles et que leurs pentes soient égales.
La dérivée première est :
\[ f'(x) = 3x^2 - 10x + 7 \]La pente \( m_1 \) de la tangente en \( x = c \) est :
\[ m_1 = f'(c) = 3c^2 - 10c + 7 \]La pente \( m_2 \) de la sécante passant par les points \( (0, f(0)) \) et \( (3, f(3)) \) est :
\[ m_2 = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{4 - 1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1 \]Pour que la tangente à la courbe en \( x = c \) et la sécante passant par \( (0, f(0)) \) et \( (3, f(3)) \) soient parallèles, leurs pentes doivent être égales :
\[ 3c^2 - 10c + 7 = 1 \]Ce qui peut s'écrire :
\[ 3c^2 - 10c + 6 = 0 \]Résolvons à l'aide de la formule quadratique pour obtenir deux solutions :
\[ c = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(6)}}{2(3)} = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 - 72}}{6} = \dfrac{10 \pm \sqrt{28}}{6} = \dfrac{10 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \dfrac{5 \pm \sqrt{7}}{3} \]En calculant les approximations décimales :
\[ c_1 = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{3} \approx 0.78 \quad \text{and} \quad c_2 = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{3} \approx 2.55 \]Vérification graphique :
La figure 3 ci-dessous présente les graphiques de la fonction donnée et des deux tangentes à la courbe de \( f \) parallèles à la sécante passant par les points \( A(0, f(0)) \) et \( B(3, f(3)) \).
