Des questions sur la dérivabilité des fonctions, avec un accent particulier sur les fonctions par morceaux, sont présentées accompagnées de leurs réponses.
Signification graphique de la non-dérivabilité
Quelles sont les fonctions non dérivables ?
Soit \( f \) une fonction dont le graphique est \( G \). D'après la définition, la valeur de la dérivée d'une fonction \( f \) en une certaine valeur de \( x \) est égale à la pente de la droite tangente au graphique \( G \). Nous pouvons dire que \( f \) n'est pas dérivable pour toute valeur de \( x \) où une tangente ne peut pas exister, ou bien où une tangente existe mais est verticale (une droite verticale a une pente indéfinie, et par conséquent une dérivée indéfinie).
Vous trouverez ci-dessous les graphiques de fonctions qui ne sont pas dérivables en \( x = 0 \) pour différentes raisons :
Exemple 1 : Angle pointu (Pas de tangente)
La fonction \( f \) ci-dessous n'est pas dérivable en \( x = 0 \) car il n'existe pas de tangente unique au graphique en \( x = 0 \) (essayez de tracer une tangente en \( x = 0 \) !)
Exemple 2 : Point de rebroussement / Point pointu
La fonction \( g \) ci-dessous n'est pas dérivable en \( x = 0 \) car il n'y a pas de tangente au graphique en \( x = 0 \).
Exemple 3 : Discontinuité par saut
La fonction \( h \) ci-dessous n'est pas dérivable en \( x = 0 \) car il y a un saut dans la valeur de la fonction, et la fonction n'est pas continue en \( x = 0 \).
Exemple 4 : Asymptote verticale
La fonction \( j \) ci-dessous n'est pas dérivable en \( x = 0 \) car elle augmente indéfiniment (pas de limite) de chaque côté de \( x = 0 \), et d'après sa formule, elle est non définie et donc discontinue en \( x = 0 \).
Exemple 5 : Tangente verticale
La fonction \( k \) ci-dessous n'est pas dérivable car la tangente en \( x = 0 \) est verticale, et par conséquent sa pente (la valeur de la dérivée en \( x = 0 \)) est indéfinie.
Théorème
Théorème : Si une fonction \( f \) est dérivable en \( x = a \), alors elle est continue en \( x = a \).
Contraposée du théorème : Si la fonction \( f \) n'est pas continue en \( x = a \), alors elle n'est pas dérivable en \( x = a \).
Erreurs courantes à éviter : Si \( f \) est continue en \( x = a \), cela ne signifie pas nécessairement que \( f \) est dérivable en \( x = a \).
REMARQUE : Bien que les fonctions \( f \), \( g \) et \( k \) (dont les graphiques sont représentés ci-dessus) soient continues partout, elles ne sont pas dérivables en \( x = 0 \).
Exemples avec solutions
Preuves analytiques de non-dérivabilité
Exemple 1 : Non-dérivabilité d'une fonction par morceaux
Problème : Montrez analytiquement que la fonction \( f \) définie ci-dessous n'est pas dérivable en \( x = 0 \) :
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x > 0 \\ -x & x < 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \]Solution :
Une façon de répondre à la question est de calculer la dérivée en \( x = 0 \) en utilisant la limite du taux d'accroissement. Puisque la fonction \( f \) est définie à l'aide de formules différentes, nous devons évaluer la dérivée en utilisant les limites à gauche et à droite :
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]À gauche de \( x = 0 \) (\( x < 0 \)), la dérivée se calcule de la manière suivante :
\[ f'(0) = \lim_{h\to 0^{\mathbf{-}}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1 \]À droite de \( x = 0 \) (\( x > 0 \)), la dérivée se calcule de la manière suivante :
\[ f'(0) = \lim_{h\to 0^{\mathbf{+}}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} h = 0 \]Les limites à gauche et à droite de \( x = 0 \) ne sont pas égales (\(-1 \neq 0\)), et par conséquent \( f'(0 \) est indéfinie. Ainsi, la fonction \( f \) n'est pas dérivable en \( x = 0 \).
Le graphique de la fonction \( f \) est représenté ci-dessous, où il apparaît clairement qu'aucune tangente unique ne peut être tracée en \( x = 0 \) :