Ici, nous apprenons à trouver la dérivée de tan(x) étape par étape. En utilisant l'identité trigonométrique \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \), ainsi que les dérivées connues de \( \sin x \) et \( \cos x \), nous appliquons la règle du quotient pour dériver la formule \( \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x \). Nous étendons également ce résultat aux fonctions composées de la forme \( \tan(u(x)) \) en utilisant la règle de chaîne, et nous traitons plusieurs exemples pour renforcer la compréhension.
Calcul de la dérivée de tan(x)
Une identité trigonométrique reliant \( \tan x \), \( \sin x \) et \( \cos x \) est donnée par :
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]Une façon de trouver la dérivée de \( \tan x \) est d'utiliser la règle du quotient pour la dérivation ; par conséquent :
\[ \frac{d}{dx} \tan x = \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \frac{\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)\cos x - \sin x \left(\frac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \]En utilisant les formules pour les dérivées des fonctions trigonométriques \( \sin x \) et \( \cos x \), données par \( \frac{d}{dx}\sin x = \cos x \) et \( \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \), nous effectuons la substitution pour obtenir :
\[ \frac{d}{dx} \tan x = \frac{\cos x \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} \]Simplifions :
\[ = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]Graphique de tan(x) et de sa dérivée
Les graphiques de \( \tan(x) \) et de sa dérivée sont représentés ci-dessous :
-and-its-derivative.gif)
Dérivée de la fonction composée tan(u(x))
Nous avons maintenant une fonction composée qui est une fonction (la tangente) d'une autre fonction (\( u \)). Utilisez la règle de chaîne pour la dérivation pour écrire :
\[ \frac{d}{dx} \tan(u(x)) = \left(\frac{d}{du} \tan u\right) \left(\frac{d}{dx} u\right) \]Simplifions :
\[ = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} \]Exemples avec solutions
Exemple 1 : Trouver la dérivée de fonctions tangentes composées
Trouvez la dérivée de :
- \( f(x) = \tan(2x - 1) \)
- \( g(x) = \tan(\cos x) \)
- \( h(x) = \tan\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \)
Solution :
- Soit \( u(x) = 2x - 1 \), par conséquent \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2 \). En appliquant la règle : \[ \frac{d}{dx} f(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(2x - 1) \cdot 2 = 2\sec^2(2x - 1) \]
- Soit \( u(x) = \cos x \), par conséquent \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \). En appliquant la règle : \[ \frac{d}{dx} g(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \sec^2(\cos x) \]
- Soit \( u(x) = \frac{x-1}{x+2} \), par conséquent \( \frac{du}{dx} = \frac{3}{(x+2)^2} \) (en utilisant la règle du quotient). En appliquant la règle : \[ \frac{d}{dx} h(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \cdot \frac{3}{(x+2)^2} = \frac{3\sec^2\left(\frac{x-1}{x+2}\right)}{(x+2)^2} \]