Nous utilisons la définition de la dérivée pour prouver la formule de la dérivée de \( \cos(x) \). La dérivée de la fonction composée \( \cos(u(x)) \) est également présentée en utilisant la règle de chaîne, avec des exemples résolus.
Preuve en utilisant la définition de la dérivée
La définition de la dérivée d'une fonction \( f \) est :
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]Soit \( f(x) = \cos x \). Alors :
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} \]En utilisant l'identité trigonométrique :
\[ \cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h \]nous obtenons :
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} \]Séparons les limites :
\[ f'(x) = \cos x \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} \]En utilisant les résultats standards :
\[ \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \] \[ \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 \]nous obtenons :
\[ f'(x) = \cos x(0) - \sin x(1) = -\sin x \]Graphique de cos(x) et de sa dérivée
Les graphiques de \( \cos x \) et de sa dérivée sont représentés ci-dessous. Les maxima et minima de \( \cos x \) correspondent aux zéros de sa dérivée.
-and-its-derivative.gif)
Dérivée de la fonction composée cos(u(x))
En utilisant la règle de chaîne :
\[ \frac{d}{dx}\cos(u(x)) = \frac{d}{du}(\cos u) \cdot \frac{du}{dx} \] \[ = -\sin u \cdot \frac{du}{dx} \]Exemples avec solutions
Exemples résolus : Dérivation de fonctions cosinus composées
Trouvez les dérivées :
- \( f(x) = \cos(2x + 2) \)
- \( g(x) = \cos(\tan x) \)
- \( h(x) = \cos\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \)
Solutions :
-
Soit \( u = 2x + 2 \), alors \( u' = 2 \).
\[ f'(x) = -2\sin(2x + 2) \] -
Soit \( u = \tan x \), alors \( u' = \sec^2 x \).
\[ g'(x) = -\sin(\tan x)\sec^2 x \] -
Soit \( u = \frac{x^2}{x^2+1} \). En utilisant la règle du quotient :
\[ u' = \frac{2x(x^2+1) - x^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \] \[ h'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \sin\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \]