Plusieurs exemples liés aux limites de fonctions trigonométriques avec des solutions détaillées et des exercices avec réponses sont présentés.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Exemples et solutions
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Exemple 1
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} \]Afficher la solution de l'exemple 1
Multiplions le numérateur et le dénominateur par \( 1 + \cos x \) et écrivons :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} \cdot \dfrac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \]Le numérateur devient égal à \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \), d'où :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos x} \]La limite peut s'écrire sous la forme :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \right) = (1) \left(\dfrac{0}{2}\right) = 0 \]Nous avons utilisé le théorème : \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \).
Exemple 2
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} \]Afficher la solution de l'exemple 2
Soit \( t = 4x \). Lorsque \( x \) tend vers 0, \( t \) tend vers 0, de sorte que :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \]Nous utilisons maintenant le théorème \( \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \) pour trouver la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \]Exemple 3
Trouvez la limite :
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6x}{5x} \]Afficher la solution de l'exemple 3
Soit \( t = 6x \), ou \( x = t / 6 \). Lorsque \( x \) tend vers 0, \( t \) tend vers 0, de sorte que :
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6x}{5x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{5t/6} \] \[ = \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{6}{5}\right) \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \cdot 1 = \dfrac{6}{5} \]Exemple 4
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 + 7x + 12} \]Afficher la solution de l'exemple 4
Si nous appliquons le théorème de la limite du quotient de deux fonctions, nous obtiendrons la forme indéterminée \( \dfrac{0}{0} \). Nous devons trouver une autre méthode. Pour \( x = -3 \), le dénominateur est égal à zéro et peut donc être factorisé, d'où :
\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 + 7x + 12} = \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{(x + 3)(x + 4)} \]Soit \( t = x + 3 \), ou \( x = t - 3 \). Lorsque \( x \) tend vers \( -3 \), \( t \) tend vers 0 :
\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t(t + 1)} \]Nous appliquons maintenant le théorème de la limite du produit de deux fonctions :
\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t + 1} \] \[ = 1 \cdot 1 = 1 \]Exemple 5
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \]Afficher la solution de l'exemple 5
Nous allons trouver la limite lorsque \( x \) tend vers 0 par la gauche et lorsque \( x \) tend vers 0 par la droite. Pour \( x < 0 \), \( |x| = -x \) :
\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin(-x)}{x} = -\lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} = -1 \]Pour \( x > 0 \), \( |x| = x \) :
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]Les limites à gauche et à droite ont des valeurs différentes, par conséquent la limite ci-dessus n'existe pas :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \quad \text{N'EXISTE PAS} \]Exemple 6
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \]Afficher la solution de l'exemple 6
Nous utilisons d'abord l'identité trigonométrique \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \) :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{\dfrac{\sin x}{x}} \]Nous utilisons maintenant le théorème de la limite du quotient :
\[ = \dfrac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)} = \dfrac{1}{1} = 1 \]Exemple 7
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to 0} x \csc x \]Afficher la solution de l'exemple 7
Nous utilisons d'abord l'identité trigonométrique \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \) :
\[ \lim_{x \to 0} x \csc x = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}} \]La limite du quotient est utilisée :
\[ = \dfrac{1}{1} = 1 \]Exercices
Calculez les limites suivantes. Cliquez sur chaque exercice pour vérifier vos réponses.
Exercice 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{\sin 8x} \)
Afficher la réponse
Exercice 2
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 3x}{x} \)
Afficher la réponse
Exercice 3
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \sqrt{x} \, \csc (4 \sqrt{x}) \)
Afficher la réponse
Exercice 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 3x}{x \sin(x^2)} \)