La dérivée de \( \cot(x) \) peut être calculée en utilisant les dérivées de \( \sin x \) et \( \cos x \) avec la règle du quotient. Les dérivées des fonctions cotangentes composées sont également présentées avec des exemples résolus.
Preuve de la dérivée de cot(x)
En utilisant l'identité trigonométrique :
\[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \]et la règle du quotient, nous avons :
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{\left(\frac{d}{dx} \cos x\right) \cdot \sin x - \cos x \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x} \]En substituant \( \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \) et \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \) :
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{(-\sin x)(\sin x) - \cos x (\cos x)}{\sin^2 x} = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \]Graphique de cot(x) et de sa dérivée
Les graphiques de \( \cot x \) et de sa dérivée sont représentés ci-dessous. Puisque \( \cot x \) est décroissante, sa dérivée est négative partout.
-and-its-derivative.gif)
Dérivée de la fonction composée cot(u(x))
En utilisant la règle de chaîne :
\[ \frac{d}{dx} \cot(u(x)) = \frac{d}{du}(\cot u) \cdot \frac{du}{dx} = -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \]Exemples avec solutions
Exemples résolus : Dérivation de fonctions cotangentes composées
Trouvez les dérivées :
- \( f(x) = \cot(x^3 - 2x + 2) \)
- \( g(x) = \cot(e^x) \)
- \( h(x) = \cot\left(\frac{-2}{x^3 + 2}\right) \)
Solutions :
-
Soit \( u = x^3 - 2x + 2 \), alors \( u' = 3x^2 - 2 \).
\[ f'(x) = -\csc^2(u) \cdot u' = -(3x^2 - 2)\csc^2(x^3 - 2x + 2) \] -
Soit \( u = e^x \), alors \( u' = e^x \).
\[ g'(x) = -\csc^2(e^x) \cdot e^x = -e^x \csc^2(e^x) \] -
Soit \( u = \frac{-2}{x^3+2} \). En utilisant la règle du quotient ou la règle des puissances :
\[ u' = \frac{0 - (-2)(3x^2)}{(x^3+2)^2} = \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \] \[ h'(x) = -\csc^2\left(\frac{-2}{x^3+2}\right) \cdot \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} = -\frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \csc^2\left(\frac{2}{x^3+2}\right) \]