La dérivée de \( \csc(x) \) peut être calculée en utilisant la règle du quotient. Les dérivées des fonctions cosécantes composées sont également présentées avec des exemples résolus.
Preuve de la dérivée de csc(x)
En utilisant l'identité trigonométrique :
\[ \csc x = \frac{1}{\sin x} \]et la règle du quotient :
\[ \frac{d}{dx}\csc x = \frac{\left(\frac{d}{dx} 1\right) \cdot \sin x - 1 \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x} \]Puisque \( \frac{d}{dx} 1 = 0 \) et \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \), nous obtenons :
\[ \frac{d}{dx}\csc x = \frac{0 - \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cot x \, \csc x \]
Formule :
\[ \frac{d}{dx}\csc x = -\cot x \, \csc x \]
Graphique de csc(x) et de sa dérivée
Les graphiques de \( \csc x \) et de sa dérivée sont représentés ci-dessous :
-and-its-derivative.gif)
Dérivée de la fonction composée csc(u(x))
En utilisant la règle de chaîne :
\[ \frac{d}{dx} \csc(u(x)) = \frac{d}{du}(\csc u) \cdot \frac{du}{dx} = -\cot u \, \csc u \cdot \frac{du}{dx} \]
Formule de la règle de chaîne :
\[ \frac{d}{dx} \csc(u(x)) = -\cot(u(x)) \, \csc(u(x)) \, u'(x) \]
Exemples avec solutions
Exemples résolus : Dérivation de fonctions cosécantes composées
Trouvez les dérivées :
- \( f(x) = \csc(-x^3 + 3) \)
- \( g(x) = \csc(\cos x) \)
- \( h(x) = \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \)
Solutions :
-
Soit \( u = -x^3 + 3 \), alors \( u' = -3x^2 \).
\[ f'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \cdot (-3x^2) = 3x^2 \, \cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \] -
Soit \( u = \cos x \), alors \( u' = -\sin x \).
\[ g'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \cdot (-\sin x) = \sin x \, \cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \] -
Soit \( u = \frac{1}{x^2+1} \), alors \( u' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \).
\[ h'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \cdot \left(-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\right) = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \, \cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \]