Dérivée de sec(x) : Preuve et exemples

Dérivation étape par étape avec la règle du quotient, graphique, formule de la règle de chaîne et exemples résolus

La dérivée de \( \sec(x) \) est calculée en utilisant la règle du quotient pour les dérivées.

Preuve de la dérivée de sec(x)

Une identité trigonométrique reliant \( \sec x \) et \( \cos x \) est donnée par :

\[ \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \]

Nous utilisons la règle du quotient pour la dérivation afin de trouver la dérivée de \( \sec x \) :

\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\cos x}\right) = \dfrac{\left(\dfrac{d}{dx}1\right) \cos x - 1 \left(\dfrac{d}{dx} \cos x\right)}{\cos^2 x} \]

La dérivée de la constante 1 est égale à zéro. En utilisant la formule de la dérivée de la fonction trigonométrique \( \cos x \), qui est \( \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x \), substituons pour obtenir :

\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{0 - (-\sin x)}{\cos^2 x} \]

Simplifions :

\[ = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} = \tan x \sec x \]
Formule : \[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \tan x \; \sec x \]

Graphique de sec(x) et de sa dérivée

Les graphiques de \( \sec(x) \) et de sa dérivée sont représentés ci-dessous :

Graphique de sec x et de sa dérivée

Dérivée de la fonction composée sec(u(x))

Nous considérons maintenant la fonction composée sécante d'une autre fonction \( u(x) \). Utilisons la règle de chaîne de dérivation pour écrire :

\[ \dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sec u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \] \[ = \tan u \sec u \dfrac{du}{dx} \]
Formule de la règle de chaîne : \[ \dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \tan(u(x)) \; \sec(u(x)) \; u'(x) \]

Exemples avec solutions

Exemples résolus : Dérivation de fonctions sécantes composées

Trouvez la dérivée des fonctions sécantes composées suivantes :

  1. \( f(x) = \sec(x^2 + x - 1) \)
  2. \( g(x) = \sec(\sin x) \)
  3. \( h(x) = \sec(\sqrt{x+2}) \)

Solutions :

  1. Soit \( u(x) = x^2 + x - 1 \), alors \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \).
    En appliquant la règle pour la fonction sécante composée : \[ f'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = (2x + 1) \, \tan(x^2 + x - 1) \, \sec(x^2 + x - 1) \]
  2. Soit \( u(x) = \sin x \), alors \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \).
    En appliquant la règle : \[ g'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \cos x \, \tan(\sin x) \, \sec(\sin x) \]
  3. Soit \( u(x) = \sqrt{x+2} \), alors \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \).
    En appliquant la règle : \[ h'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \dfrac{\tan(\sqrt{x+2}) \, \sec(\sqrt{x+2})}{2\sqrt{x+2}} \]

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