Trouver des limites à l'aide de séries

Pour trouver la limite \( \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} \), nous utilisons les développements en série de Taylor.

Développez l'argument de la fonction cosinus :

\[ \dfrac{x}{1 - x^2} = x \left(1 + x^2 + x^4 + \cdots \right) = x + x^3 + x^5 + \cdots \]

Pour \( x \) petit, nous approximons ceci par \( \theta = x + x^3 \).

Développez \( \cos(\theta) \) en utilisant la série de Taylor :

\[ \cos(\theta) = \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]

Calculez \( \theta^2 \) et \( \theta^4 \) jusqu'aux termes en \( x^4 \) :

\[ \theta^2 = (x + x^3)^2 = x^2 + 2x^4 + \cdots \] \[ \theta^4 = (x + x^3)^4 = x^4 + \cdots \]

Substituez ces expressions dans le développement du cosinus :

\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2 + 2x^4}{2} + \dfrac{x^4}{24} = 1 - \dfrac{x^2}{2} - x^4 + \dfrac{x^4}{24} \]

Simplifiez les termes :

\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24} \]

Substituez ceci de nouveau dans le numérateur de l'expression originale :

\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right) \approx 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24}\right) \]

Simplifiez :

\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{23x^4}{24} = \dfrac{23x^4}{24} \]

Divisez le numérateur simplifié par le dénominateur \( x^4 \) et simplifiez :

\[ \dfrac{\dfrac{23x^4}{24}}{x^4} = \dfrac{23}{24} \]

Ainsi, la limite est :

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} = \dfrac{23}{24} } \]

Pour trouver la limite \( \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \right) \), nous commençons par utiliser des identités trigonométriques et des développements en série de Taylor.

Réécrivez l'expression à l'aide d'identités trigonométriques :

\[ \dfrac{1}{\tan^2 x} = \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \]

Ainsi, l'expression devient :

\[ \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \]

Développez \( \cos x \) et \( \sin x \) en utilisant les séries de Taylor :

\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \] \[ \sin x \approx x - \dfrac{x^3}{6} \]

En élevant au carré les développements ci-dessus :

\[ \cos^2 x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right)^2 \approx 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \] \[ \sin^2 x \approx \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 \approx x^2 - \dfrac{x^4}{3} \]

Substituez ces développements dans l'expression :

\[ 1 + \cos^2 x \approx 2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \] \[ \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} \approx \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 - \dfrac{x^4}{3}} = \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \]

En simplifiant :

\[ \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \approx \left( \dfrac{2}{x^2} - 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \]

En développant et simplifiant :

\[ \approx \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]

Soustrayez \( \dfrac{2}{x^2} \) :

\[ \left( \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) - \dfrac{2}{x^2} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]

Prenez la limite lorsque \( x \to 0 \) :

\[ \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) = -\dfrac{1}{3} \]

Ainsi, la limite est :

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2}\right) = -\dfrac{1}{3} } \]

Pour trouver la limite \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} \), nous utilisons les développements en série de Taylor.

Développez le numérateur à l'aide des séries de Taylor :

\[ \pi \sin x \approx \pi\left(x - \dfrac{x^3}{6}\right), \quad \sin(\pi x) \approx \pi x - \dfrac{(\pi x)^3}{6} \]

En soustrayant ces expressions :

\[ \pi \sin x - \sin(\pi x) \approx \dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6} \]

Développez les expressions entre parenthèses du dénominateur en utilisant les séries de Taylor :

\[ \cos x - \cos(\pi x) \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{(\pi x)^2}{2}\right) = \dfrac{(\pi^2 - 1)x^2}{2} \]

Multipliez par \( x \) pour obtenir l'ensemble du dénominateur :

\[ x(\cos x - \cos(\pi x)) \approx \dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2} \]

Formez le rapport de la limite :

\[ \dfrac{\dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6}}{\dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2}} = \dfrac{\pi}{3} \]

Ainsi, la limite est :

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} = \dfrac{\pi}{3} } \]

Remarque : Cette limite aurait également pu être résolue en appliquant la règle de L'Hôpital en dérivant trois fois le numérateur et le dénominateur.

Nous allons trouver la limite \( \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} \) à l'aide des développements en série de Taylor.

Le développement binomial pour une puissance rationnelle est donné par :

\[ (1 + \epsilon)^n = 1 + n\epsilon + \dfrac{n(n-1)}{2!} \epsilon^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!} \epsilon^3 + \cdots \]

Développez \( \sqrt{x^2 + 1} \) à l'aide du développement binomial :

\[ \sqrt{x^2 + 1} = (1 + x^2)^{1/2} = 1 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} + \cdots \]

Soustrayez \( x \) et prenez le logarithme népérien :

\[ \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) = \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \]

Développez le logarithme en utilisant la série de Taylor :

\[ \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \approx -x + \dfrac{x^3}{6} + \cdots \]

Combinez avec le terme \( x \) au numérateur :

\[ x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) \approx x + \left(-x + \dfrac{x^3}{6}\right) = \dfrac{x^3}{6} \]

Divisez le numérateur simplifié par le dénominateur \( x^3 \) :

\[ \dfrac{\dfrac{x^3}{6}}{x^3} = \dfrac{1}{6} \]

Ainsi, la limite est :

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} = \dfrac{1}{6} } \]

Remarque : Cette limite aurait également pu être résolue en appliquant la règle de L'Hôpital en dérivant trois fois le numérateur et le dénominateur.

Pour trouver la limite \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \), nous procédons comme suit :

Soit \( L \) la limite à trouver :

\[ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]

Prenez le logarithme népérien des deux côtés pour simplifier l'exposant :

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]

Simplifiez le membre de droite :

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right) \]

Développez \( \sin x \) en série de Taylor autour de \( x = 0 \) :

\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots \implies \dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} - \cdots \]

Approximez le logarithme en utilisant \( \ln(1 + y) \approx y - \dfrac{y^2}{2} + \cdots \) pour un \( y \) petit :

\[ \ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \approx \ln \left( 1 - \dfrac{x^2}{6} \right) \approx -\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots \]

Substituez cette approximation dans la limite :

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{-\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{6} - \dfrac{x^2}{180} - \cdots \right) = -\dfrac{1}{6} \]

Appliquez l'exponentielle au résultat pour résoudre pour \( L \) :

\[ L = e^{-\dfrac{1}{6}} \]

Et enfin :

\[ \boxed{ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} = e^{-\dfrac{1}{6}} } \]

Pour trouver la limite \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \), nous utilisons les développements en série de Taylor pour \( \sin x \) et \( \cos x \).

Développements en série de Taylor :

\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots \] \[ \cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots \]

Développez \( \cos(\sin x) \) :

Substituez \( \sin x \) dans la série de Taylor de \( \cos(\theta) \) où \( \theta = \sin x \) :

\[ \cos(\sin x) = \cos\left(x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots\right) \]

Développez \( \cos(\theta) \) en utilisant \( \theta = x - \dfrac{x^3}{6} \) :

\[ \cos(\theta) = 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]

Calculez \( \theta^2 \) et \( \theta^4 \) jusqu'aux termes en \( x^4 \) :

\[ \theta^2 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 - \dfrac{x^4}{3} + \cdots \] \[ \theta^4 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^4 = x^4 + \cdots \]

Substituez ces expressions dans le développement de \( \cos(\theta) \) :

\[ \cos(\sin x) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24} + \cdots \]

Soustrayez \( \cos x \) de \( \cos(\sin x) \) :

\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots \]

Soustrayez les développements :

\[ \cos(\sin x) - \cos x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}\right) - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right) = \dfrac{4x^4}{24} = \dfrac{x^4}{6} \]

Divisez par \( x^4 \) et prenez la limite :

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{6}}{x^4} = \dfrac{1}{6} \]

Ainsi, la limite est :

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} = \dfrac{1}{6} } \]