Trouver les limites de fonctions en analyse

Notez que nous recherchons la limite lorsque \( x \) tend vers 1 par la gauche (\( x \to 1^- \) signifie que \( x \) s'approche de 1 par des valeurs inférieures à 1). Par conséquent :

\[ x < 1 \] \[ x - 1 < 0 \]

Si \( x - 1 < 0 \) alors :

\[ |x - 1| = -(x - 1) \]

Factorisez le numérateur et simplifiez pour obtenir :

\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} \] \[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]

La réponse finale est :

\[ \boxed{-4} \]

Bien que la limite en question soit le rapport de deux polynômes, \( x = 5 \) annule à la fois le numérateur et le dénominateur. Nous devons factoriser le numérateur et le dénominateur comme indiqué ci-dessous.

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(x + 6)} \]

Simplifiez pour obtenir :

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30} = \lim_{x \to 5} \dfrac{x + 5}{x + 6} = \dfrac{10}{11} \]

La réponse finale est :

\[ \boxed{\dfrac{10}{11}} \]

Nous devons examiner la limite à gauche de 2 et la limite à droite de 2.

Lorsque \( x \) tend vers 2 par la gauche (\( x \to 2^- \)), \( x - 2 < 0 \), par conséquent :

\[ |x - 2| = -(x - 2) \]

Substituez pour obtenir la limite à gauche de 2 comme suit :

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{-(x - 2)} \]

Factorisez le numérateur \( x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \) :

\[ = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{-(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} -(x + 6) = -8 \]

Lorsque \( x \) tend vers 2 par la droite (\( x \to 2^+ \)), \( x - 2 > 0 \), par conséquent :

\[ |x - 2| = x - 2 \]

Substituez pour obtenir la limite à droite de 2 comme suit :

\[ \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} (x + 6) = 8 \]

La limite à droite de 2 (8) et la limite à gauche de 2 (-8) ne sont pas égales, par conséquent la limite bilatérale donnée N'EXISTE PAS.

Lorsque \( x \) tend vers -1 par la droite, \( \sqrt[3]{x+1} \) tend vers 0 et \( \ln(x+1) \) tend vers \( -\infty \), ce qui donne une forme indéterminée \( 0 \times (-\infty) \).

\[ \lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1) = 0 \cdot (-\infty) \]

Réécrivons la limite de manière à obtenir la forme indéterminée \( \dfrac{\infty}{\infty} \).

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^{-1/3}} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]

Utilisons maintenant la règle de L'Hôpital pour trouver la limite.

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{d}{dx}[\ln(x+1)]}{\dfrac{d}{dx}[(x+1)^{-1/3}]} = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{-\dfrac{1}{3}(x+1)^{-4/3}} \] \[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x+1} \cdot \left( -\dfrac{3}{(x+1)^{-4/3}} \right) = \lim_{x \to -1^+} -3 (x+1)^{1/3} = 0 \]

Ainsi, la limite est 0.

\[ \boxed{0} \]

Lorsque \( x \) grandit, \( x + 1 \) grandit, \( \dfrac{1}{x+1} \) tend vers zéro, \( e^{1/(x+1)} \) tend vers 1, et \( e^{1/(x+1)} - 1 \) tend vers 0 ; ce qui constitue une forme indéterminée : \( \infty \times 0 \).

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -\infty \cdot 0 \]

Réécrivons la limite de telle sorte qu'elle soit sous la forme indéterminée \( \dfrac{0}{0} \) :

\[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{0}{0} \]

Appliquons le théorème de L'Hôpital pour trouver la limite :

\[ \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = -\lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right)}{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)} \] \[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)e^{\dfrac{1}{x+1}}}{-\dfrac{1}{(x+1)^2}} = \lim_{x \to \infty} -e^{\dfrac{1}{x+1}} = -1 \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -1 \]

Lorsque \( x \) tend vers 9, le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 0. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur :

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} \]

Développez et simplifiez :

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} \]

Trouvez maintenant la limite par substitution directe :

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{6} \]

L'ensemble des valeurs de la fonction cosinus est :

\[ -1 \le \cos x \le 1 \]

Divisez tous les termes de l'inégalité ci-dessus par \( x \), pour \( x > 0 \) :

\[ -\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le \dfrac{1}{x} \]

Maintenant, lorsque \( x \to +\infty \), \( -\dfrac{1}{x} \) et \( \dfrac{1}{x} \) tendent tous deux vers 0. Par conséquent, d'après le théorème des gendarmes, la limite est :

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x} = 0 \]

Lorsque \( t \) tend vers 0, le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 0, ce qui donne la forme indéterminée \( 0 / 0 \).

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \dfrac{0}{0} \]

Par conséquent, le théorème de L'Hôpital est utilisé pour calculer la limite ci-dessus comme suit :

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{d}{dt}(\sin t - t)}{\dfrac{d}{dt}(\tan t)} \] \[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\cos t - 1}{\sec^2 t} = \dfrac{0}{1} = 0 \]

Mettons d'abord en facteur \( 16x^2 \) sous la racine carrée du dénominateur, sortons-le de la racine carrée et réécrivons la limite comme suit :

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4|x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} \]

Puisque \( x \) prend de grandes valeurs positives (l'infini), \( |x| = x \) et \( \dfrac{1}{16x^2} \) tend vers 0. Simplifiez et trouvez la limite :

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4x \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} = \dfrac{3}{4} \]

Lorsque \( x \) tend vers 2 par la gauche, \( x - 2 \) tend vers 0 par la gauche ou \( x - 2 < 0 \). Le numérateur tend vers 5 et le dénominateur tend vers 0 par la gauche, d'où la limite :

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2} = -\infty \]

Mettez \( x^2 \) en facteur dans le dénominateur et simplifiez :

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{x^2\left(4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)} \]

Lorsque \( x \) prend de grandes valeurs (l'infini), les termes \( \dfrac{2}{x} \) et \( \dfrac{1}{x^2} \) tendent vers 0. Par conséquent, la limite est :

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2} = \dfrac{3}{4} \]

Multipliez le numérateur et le dénominateur par \( t \) :

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{t} \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

Réécrivez l'expression en utilisant une manipulation algébrique :

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot \dfrac{3t}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot 3 \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

Utilisez la limite connue \( \lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1 \). Soit \( u = 3t \), donc lorsque \( t \to 0 \), \( u \to 0 \) :

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} = 1 \]

De même :

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\sin(t)} = 1 \]

Par conséquent, la limite est :

\[ = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3 \]

Mettez \( x^2 \) en facteur à l'intérieur de la racine carrée :

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)} - x \right) \]

Utilisez le fait que \( \sqrt{x^2} = |x| \) :

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( |x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) \]

Puisque \( x \) prend de grandes valeurs positives (l'infini), alors \( |x| = x \) et \( \dfrac{1}{x} \) ainsi que \( \dfrac{1}{x^2} \) tendent vers 0. Nous avons donc la forme indéterminée \( \infty - \infty \) :

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( x \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \infty - \infty \]

Reprenons la limite initiale, multiplions son numérateur et son dénominateur par le conjugué, et simplifions :

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) \left( \sqrt{x^2 + x + 1} + x \right) }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \] \[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x^2 + x + 1 - x^2 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x + 1 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \]

Mettez \( x \) en facteur au numérateur et au dénominateur, puis simplifiez :

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) }{ x \left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 \right) } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{x} }{ \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 } \]

Lorsque \( x \) grandit, les termes \( \dfrac{1}{x} \) et \( \dfrac{1}{x^2} \) tendent vers zéro et la limite s'évalue à :

\[ = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} \]

Soit \( z = 1 / x \) de sorte que lorsque \( x \) grandit, \( z \) tend vers 0. Substituez et calculez la limite comme suit :

\[ = \lim_{z \to 0} \dfrac{\sin z}{z} = 1 \]

\[ 3 \]

\[ 1 \]

\[ 1 \]

\[ \dfrac{1}{4} \]

\[ 0 \]

\[ 4 \]