La règle de L'Hôpital nous permet de remplacer un problème de limite par un autre qui peut être plus simple à résoudre. Plusieurs exemples sont présentés ainsi que leurs solutions et des explications détaillées.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Règle de L'Hôpital
Si \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) et \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) (ou si les deux tendent vers \( \pm\infty \)) et si \( \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) a une valeur finie \( L \), ou est de la forme \( +\infty \) ou \( -\infty \), alors :
\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]où \( \lim \) désigne \( \lim_{x \to a} \), \( \lim_{x \to a^+} \), \( \lim_{x \to a^-} \), \( \lim_{x \to +\infty} \), ou \( \lim_{x \to -\infty} \).
\( f'(x) \) et \( g'(x) \) sont respectivement les dérivées de \( f(x) \) et \( g(x) \).
Exemples avec solutions détaillées
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Exemple 1
Trouvez la limite \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \)
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Puisque :
\[ \lim_{x \to 0} \sin x = 0 \]et
\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]la règle de L'Hôpital peut être utilisée pour évaluer la limite ci-dessus comme suit :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(\sin x)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = \dfrac{\cos 0}{1} = 1 \]Exemple 2
Trouvez la limite \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} \)
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Notez que :
\[ \lim_{x \to 0} (e^x - 1) = 0 \]et
\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]Nous pouvons utiliser la règle de L'Hôpital pour calculer la limite donnée comme suit :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(e^x - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{1} = \dfrac{e^0}{1} = 1 \]Exemple 3
Trouvez la limite \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \)
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Puisque la limite du numérateur :
\[ \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0 \]et celle du dénominateur :
\[ \lim_{x \to 1} (x - 1) = 0 \]sont toutes deux égales à zéro, nous pouvons utiliser la règle de L'Hôpital pour calculer la limite :
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{\dfrac{d(x^2 - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x - 1)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 1} \dfrac{2x}{1} = \dfrac{2(1)}{1} = 2 \]Notez que cette même limite peut être calculée en factorisant d'abord ainsi :
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \]Exemple 4
Trouvez la limite \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} \)
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Limite du numérateur :
\[ \lim_{x \to 2} \ln(x - 1) = \ln(1) = 0 \]Limite du dénominateur :
\[ \lim_{x \to 2} (x - 2) = 0 \]Les deux limites sont égales à zéro, donc la règle de L'Hôpital peut être utilisée :
\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{d(\ln(x - 1))}{dx}}{\dfrac{d(x - 2)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{1}{x - 1}}{1} = \dfrac{\dfrac{1}{2 - 1}}{1} = 1 \]Exemple 5
Trouvez la limite \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} \)
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Limite du numérateur et du dénominateur :
\[ \lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} 6x^2 = 0 \]La règle de L'Hôpital peut être utilisée :
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{12x} \]La nouvelle limite est également indéterminée \( \dfrac{0}{0} \), et nous pouvons appliquer la règle de L'Hôpital une seconde fois :
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{12} = \dfrac{\cos 0}{12} = \dfrac{1}{12} \]Exercices
Calculez les limites suivantes. Cliquez sur chaque exercice pour vérifier vos réponses.
Exercice 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 2x} \)
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Exercice 2
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} \)
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Exercice 3
\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{3x - 3} \)
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Exercice 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{\sin 2x} \)