Que sont les radicaux en mathématiques ?

Cette page définit les radicaux en mathématiques avec des exemples clairs et des diagrammes. Vous apprendrez comment les radicaux agissent comme des opérations inverses des exposants. Au bas de la page, vous trouverez des questions de pratique accompagnées de solutions détaillées étape par étape pour tester votre compréhension.

Comprendre la puissance de $n$

Pour comprendre les radicaux, nous devons d'abord revoir les puissances (ou exposants). Soit l'opération de puissance $2$ représentée par le diagramme ci-dessous :

Diagramme montrant l'opération de puissance 2

Plus d'exemples de l'opération de puissance $2$ :

De même, le diagramme ci-dessous représente l'opération de puissance $3$ :

Diagramme montrant l'opération de puissance 3

Plus d'exemples de l'opération de puissance $3$ :

Puissance générale de $n$ :

$$a^n = a \times a \times a \dots \times a \quad \text{(multiplié } n \text{ fois)}$$

Définition des radicaux

1. Radical d'indice 2 (Racine carrée)

La racine carrée est l'opération inverse de la puissance $2$. Nous inversons l'entrée et la sortie. Par exemple, si l'entrée est $9$, la sortie de l'opération inverse est $3$.

Diagramme montrant l'opération de radical d'indice 2 (racine carrée)

Nous l'écrivons ainsi :

$$\sqrt[2]{9} = 3 \quad \text{car} \quad 9 = 3^2$$

Terminologie : Le symbole $\sqrt{\phantom{x}}$ est le radical. Le nombre $2$ est l'indice. Le nombre situé à l'intérieur du radical est le radicande.

Diagramme indiquant le symbole du radical, le radicande et l'indice

Remarque : Par convention, un radical d'indice $2$ (racine carrée) est écrit sans le $2$. Nous écrivons simplement $\sqrt{\phantom{x}}$.

2. Radical d'indice 3 (Racine cubique)

L'opération inverse de la puissance $3$ est appelée la racine cubique.

Diagramme montrant l'opération de radical d'indice 3 (racine cubique)

Nous l'écrivons ainsi :

$$\sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{car} \quad 8 = 2^3$$

3. Radical général d'indice $n$ ($n$-ième racine)

Nous pouvons généraliser les radicaux avec n'importe quel indice $n$ (où $n$ est un nombre entier supérieur à 0) :

$$\text{Si } y = a^n, \text{ alors } \sqrt[n]{y} = a$$

Plus d'exemples :

RESTRICTION IMPORTANTE : Ces relations ne sont PAS valides dans les nombres réels si $n$ est un entier PAIR et $y$ est NÉGATIF.

Les radicaux et les puissances s'annulent mutuellement

Les radicaux et les opérations de puissance de même indice s'annulent mutuellement. Comme ce sont des opérations inverses, l'application successive des deux redonne la valeur d'entrée d'origine.

Exemple : La racine carrée annule la puissance $2$

Diagramme montrant que prendre la racine carrée d'un nombre au carré redonne le nombre d'origine

Écrit mathématiquement : $$\sqrt{3^2} = 3$$

Exemple : La puissance $2$ annule la racine carrée

Diagramme montrant que élever au carré une racine carrée redonne le nombre d'origine

Écrit mathématiquement : $$(\sqrt{9})^2 = 9$$

Plus d'exemples :

En général, pour $a \ge 0$, nous pouvons écrire :

$$\sqrt[n]{a^n} = a \quad \text{et} \quad (\sqrt[n]{a})^n = a$$

Questions pratiques

Remarque : N'utilisez PAS de calculatrice pour répondre aux questions suivantes.

  1. Étant données les puissances suivantes :
    $2^6 = 64$, $\; 3^5 = 243$, $\; 5^3 = 125$, $\; 0^7 = 0$, $\; 1^{20} = 1$, $\; 2^9 = 512$, $\; 5^5 = 3125$, $\; 10^5 = 100000$, $\; 0.1^3 = 0.001$

    Trouvez les valeurs exactes des radicaux suivants :
    $\sqrt[9]{512}$, $\; \sqrt[5]{3125}$, $\; \sqrt[5]{243}$, $\; \sqrt[6]{64}$, $\; \sqrt[3]{0.001}$, $\; \sqrt[20]{1}$, $\; \sqrt[5]{100000}$, $\; \sqrt[7]{0}$, $\; \sqrt[3]{125}$
    Voir la solution
    • $\sqrt[9]{512} = \mathbf{2} \quad$ (car on nous donne $2^9 = 512$)
    • $\sqrt[5]{3125} = \mathbf{5} \quad$ (car $5^5 = 3125$)
    • $\sqrt[5]{243} = \mathbf{3} \quad$ (car $3^5 = 243$)
    • $\sqrt[6]{64} = \mathbf{2} \quad$ (car $2^6 = 64$)
    • $\sqrt[3]{0.001} = \mathbf{0.1} \quad$ (car $0.1^3 = 0.001$)
    • $\sqrt[20]{1} = \mathbf{1} \quad$ (car $1^{20} = 1$. Remarque : $\sqrt[n]{1} = 1$ pour tout $n > 0$)
    • $\sqrt[5]{100000} = \mathbf{10} \quad$ (car $10^5 = 100000$)
    • $\sqrt[7]{0} = \mathbf{0} \quad$ (car $0^7 = 0$. Remarque : $\sqrt[n]{0} = 0$ pour tout $n > 0$)
    • $\sqrt[3]{125} = \mathbf{5} \quad$ (car $5^3 = 125$)
  2. Étant donnés les radicaux suivants :
    $\sqrt{64} = 8$, $\; \sqrt[5]{7776} = 6$, $\; \sqrt[3]{1000} = 10$, $\; \sqrt[7]{128} = 2$, $\; \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1$, $\; \sqrt{10000} = 100$, $\; \sqrt[4]{20736} = 12$, $\; \sqrt[9]{512} = 2$

    Trouvez les valeurs des puissances suivantes :
    $2^7$, $\; 0.1^7$, $\; 6^5$, $\; 8^2$, $\; 2^9$, $\; 12^4$, $\; 10^3$, $\; 100^2$
    Voir la solution
    • $2^7 = \mathbf{128} \quad$ (car on nous donne $\sqrt[7]{128} = 2$)
    • $0.1^7 = \mathbf{0.0000001} \quad$ (car $\sqrt[7]{0.0000001} = 0.1$)
    • $6^5 = \mathbf{7776} \quad$ (car $\sqrt[5]{7776} = 6$)
    • $8^2 = \mathbf{64} \quad$ (car $\sqrt{64} = 8$)
    • $2^9 = \mathbf{512} \quad$ (car $\sqrt[9]{512} = 2$)
    • $12^4 = \mathbf{20736} \quad$ (car $\sqrt[4]{20736} = 12$)
    • $10^3 = \mathbf{1000} \quad$ (car $\sqrt[3]{1000} = 10$)
    • $100^2 = \mathbf{10000} \quad$ (car $\sqrt{10000} = 100$)
  3. Simplifiez les expressions suivantes :
    $\sqrt{5^2}$, $\; (\sqrt[5]{3})^5$, $\; \sqrt[3]{10^3}$, $\; (\sqrt[7]{128})^7$
    Voir la solution
    • $\sqrt{5^2} = \mathbf{5} \quad$ (Car la racine carrée et la puissance de $2$ s'annulent mutuellement)
    • $(\sqrt[5]{3})^5 = \mathbf{3} \quad$ (Car le radical d'indice $5$ et la puissance de $5$ s'annulent mutuellement)
    • $\sqrt[3]{10^3} = \mathbf{10} \quad$ (Car la racine cubique et la puissance de $3$ s'annulent mutuellement)
    • $(\sqrt[7]{128})^7 = \mathbf{128} \quad$ (Car le radical d'indice $7$ et la puissance de $7$ s'annulent mutuellement)

Plus de références sur les radicaux et les exposants

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