Implizite Differentiation

Beispiele zur impliziten Differentiation mit detaillierten Lösungen werden vorgestellt.

Implizite Differentiation erklärt

Wenn wir eine Funktion \( y \) explizit in Termen von \( x \) gegeben haben, verwenden wir die Regeln und Formeln der Differentiation, um die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden. Ein Beispiel: Wir wissen, wie man \( \dfrac{dy}{dx} \) findet, wenn \( y = 2 x^3 - 2 x + 1 \) ist.
In einigen anderen Situationen jedoch, anstatt einer explizit gegebenen Funktion, erhalten wir eine Gleichung, die Terme in \( y \) und \( x \) enthält, und wir werden gebeten, \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden. Zum Beispiel ist eine Gleichung gegeben, die \( y \) und \( x \) wie folgt in Beziehung setzt: \( x y + y^2 = 1 \) und wir werden gebeten, \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden.
Die Hauptidee der impliziten Differentiation ist es, beide Seiten der gegebenen Gleichung abzuleiten und dann die neu erhaltene Gleichung zu lösen, um \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden.

Beispiele zur impliziten Differentiation

Beispiel 1

Verwenden Sie die implizite Differentiation, um die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden, wobei \( y x + \sin y = 1 \) gilt.
Lösung zu Beispiel 1:
Differenzieren Sie beide Seiten der gegebenen Gleichung und wenden Sie die Summenregel der Differentiation auf den gesamten Term auf der linken Seite der gegebenen Gleichung an. \[ \dfrac{d}{dx}[xy] + \dfrac{d}{dx}[\sin y] = \dfrac{d}{dx}[1] \] Differenzieren Sie jeden Term oben mit der Produktregel für \( \dfrac{d}{dx}[x y] \) und der Kettenregel für \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \). \[ x \dfrac{dy}{dx} + y + \dfrac{dy}{dx} \cos(y) = 0 \] Beachten Sie, dass wir bei der Berechnung von \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \) die Kettenregel verwendet haben, da \( y \) selbst eine Funktion von \( x \) ist und \( \sin (y) \) eine Funktion einer Funktion ist.
Lösen Sie nach \( \dfrac{dy}{dx} \) auf, um zu erhalten. \[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + \cos y} \]

Beispiel 2

Verwenden Sie die implizite Differentiation, um die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden, wobei \( y^{4} + x y^{2} + x = 3 \) gilt.
Lösung zu Beispiel 2:
Wenden Sie die Summenregel der Differentiation auf die linke Seite der gegebenen Gleichung an. \[ \dfrac{d[y^{4}]}{dx} + \dfrac{d[xy^{2}]}{dx} + \dfrac{d[x]}{dx} = \dfrac{d[3]}{dx} \] Differenzieren Sie jeden Term oben mit der Potenzregel, der Produktregel und der Kettenregel. \[ 4y^{3} \dfrac{dy}{dx} + (1) y^{2} + x \cdot 2y \dfrac{dy}{dx} + 1 = 0 \] Lösen Sie nach \( \dfrac{dy}{dx} \) auf. \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(-1 - y^{2})}{(4y^{3} + 2xy)} \]

Beispiel 3

Finden Sie alle Punkte auf dem Graphen der Gleichung
\[ x^{2} + y^{2} = 4 \] an denen die Tangentenlinien parallel zur Linie \( x + y = 2 \) sind.
Lösung zu Beispiel 3:
Schreiben Sie die gegebene Linie \( x + y = 2 \) in der Normalform um: \( y = -x + 2 \) und identifizieren Sie die Steigung als \( m = -1 \). Die Tangentenlinien sind parallel zu dieser Linie, daher ist ihre Steigung gleich \( -1 \). Die Steigung der Tangentenlinien an einem Punkt kann durch implizite Differentiation von \( x^{2} + y^{2} = 4 \) gefunden werden.
\[ 2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \] Sei \( P(a , b) \) der Berührungspunkt. Am Punkt \( P \) ist die Steigung \( -1 \). Durch Einsetzen von \( x \) durch \( a \), \( y \) durch \( b \) und \( \dfrac{dy}{dx} \) durch \( -1 \) in die obige Gleichung erhalten wir \[ 2a + 2b (-1) = 0 \] Der Punkt \( P(a , b) \) liegt auf dem Graphen von \( x^{2} + y^{2} = 4 \), daher gilt \[ a^{2} + b^{2} = 4 \] Lösen Sie das Gleichungssystem: \( 2a - 2b = 0 \) und \( a^{2} + b^{2} = 4 \), um zwei Punkte zu erhalten \[ (- \sqrt{2} , - \sqrt{2}) \text{ und } (\sqrt{2} , \sqrt{2}) \]

Übungen

Verwenden Sie die implizite Differentiation, um \( \dfrac{dy}{dx} \) für jede unten angegebene Gleichung zu finden.
  1. \( x e^{y} = 3 \)
  2. \( x^{2} + y^{2} = 20 \)
  3. \( x \sin(x y) = x \)

Lösungen zu den obigen Übungen

  1. \( \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{x} \)
  2. \( \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{x}{y} \)
  3. \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - \sin(x y) - x y \cos(x y)}{x^{2} \cos(x y)} \)

Weitere Referenzen und Links

Tabellen mit Formeln für Ableitungen
Differentiationsregeln für Funktionen in der Analysis
Differentiation und Ableitungen