Beispiele zur impliziten Differentiation mit detaillierten Lösungen werden vorgestellt.
Implizite Differentiation erklärt
Wenn uns eine Funktion \( y \) explizit in Abhängigkeit von \( x \) gegeben ist, verwenden wir die Regeln und Formeln der Differentiation, um die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden. Als Beispiel wissen wir, wie man \( \dfrac{dy}{dx} \) findet, wenn \( y = 2x^3 - 2x + 1 \) ist.
In manchen anderen Situationen wird uns jedoch anstelle einer explizit gegebenen Funktion eine Gleichung mit Termen in \( y \) und \( x \) vorgegeben, und wir werden aufgefordert, \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden. Zum Beispiel wird uns eine Gleichung gegeben, die \( y \) und \( x \) wie folgt verknüpft: \( xy + y^2 = 1 \), und wir werden aufgefordert, \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden.
Die Grundidee der impliziten Differentiation besteht darin, beide Seiten der gegebenen Gleichung nach \( x \) zu differenzieren und dann die erhaltene neue Gleichung aufzulösen, um \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden.
Beispiele zur impliziten Differentiation
Beispiel 1
Verwenden Sie die implizite Differentiation, um die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden, wobei \( yx + \sin y = 1 \)
Lösung zu Beispiel 1
Differenzieren Sie beide Seiten der gegebenen Gleichung und verwenden Sie die Summenregel der Differentiation:
\[ \dfrac{d}{dx}[xy] + \dfrac{d}{dx}[\sin y] = \dfrac{d}{dx}[1] \]Differenzieren Sie jeden Term unter Verwendung der Produktregel für \( \dfrac{d}{dx}[xy] \) und der Kettenregel für \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \):
\[ x \dfrac{dy}{dx} + y + \dfrac{dy}{dx} \cos(y) = 0 \]Beachten Sie, dass wir bei der Berechnung von \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \) die Kettenregel verwendet haben, da \( y \) selbst eine Funktion von \( x \) ist.
Lösen Sie nach \( \dfrac{dy}{dx} \) auf:
\[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + \cos y} \]Beispiel 2
Verwenden Sie die implizite Differentiation, um die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden, wobei \( y^{4} + xy^{2} + x = 3 \)
Lösung zu Beispiel 2
Verwenden Sie die Formel für die Differentiation einer Summe auf der linken Seite der gegebenen Gleichung:
\[ \dfrac{d[y^{4}]}{dx} + \dfrac{d[xy^{2}]}{dx} + \dfrac{d[x]}{dx} = \dfrac{d[3]}{dx} \]Differenzieren Sie jeden Term unter Verwendung der Potenzregel, der Produktregel und der Kettenregel:
\[ 4y^{3} \dfrac{dy}{dx} + (1)y^{2} + x(2y \dfrac{dy}{dx}) + 1 = 0 \]Lösen Sie nach \( \dfrac{dy}{dx} \) auf:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1 - y^{2}}{4y^{3} + 2xy} \]Beispiel 3
Finden Sie alle Punkte auf dem Graphen der Gleichung:
\[ x^{2} + y^{2} = 4 \]wobei die Tangenten parallel zur Geraden \( x + y = 2 \) sind
Lösung zu Beispiel 3
Schreiben Sie die gegebene Gerade \( x + y = 2 \) in die Achsenabschnittsform um: \( y = -x + 2 \), und bestimmen Sie die Steigung als \( m = -1 \). Die Tangenten sind parallel zu dieser Geraden und haben daher dieselbe Steigung \( -1 \). Die Steigung der Tangenten in einem Punkt kann durch implizite Differentiation von \( x^{2} + y^{2} = 4 \) gefunden werden:
\[ 2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \]Sei \( P(a, b) \) der Berührpunkt. Am Punkt \( P \) beträgt die Steigung \( -1 \). Wenn wir \( x \) durch \( a \), \( y \) durch \( b \) und \( \dfrac{dy}{dx} \) durch \( -1 \) in der obigen Gleichung ersetzen, erhalten wir:
\[ 2a + 2b(-1) = 0 \implies 2a = 2b \implies a = b \]Der Punkt \( P(a, b) \) liegt auf dem Graphen von \( x^{2} + y^{2} = 4 \), folglich:
\[ a^{2} + b^{2} = 4 \]Setzen Sie \( a = b \) in \( a^2 + b^2 = 4 \) ein:
\[ 2a^2 = 4 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm\sqrt{2} \]Somit erhalten wir zwei Punkte:
\[ (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) \quad \text{und} \quad (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \]Übungen
Verwenden Sie die implizite Differentiation, um \( \dfrac{dy}{dx} \) für jede der unten angegebenen Gleichungen zu finden:
- \( xe^{y} = 3 \)
- \( x^{2} + y^{2} = 20 \)
- \( x \sin(xy) = x \)
Lösungen zu den obigen Übungen
- \( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x} \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y} \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - \sin(xy) - xy \cos(xy)}{x^{2} \cos(xy)} \)