Bestimmen Sie die Formel für das Volumen einer quadratischen Pyramide mithilfe von Integralen in der Analysis.
Aufgabe : Eine Pyramide ist in der Abbildung unten dargestellt. Ihre Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a \) und ist orthogonal zur y-Achse. Die Höhe der Pyramide beträgt \( H \). Verwenden Sie Integrale und deren Eigenschaften, um das Volumen der quadratischen Pyramide in Abhängigkeit von \( a \) und \( H \) zu bestimmen.
Lösung der Aufgabe:
Positionieren wir die Pyramide zunächst so, dass zwei gegenüberliegende Seiten der quadratischen Grundfläche senkrecht zur x-Achse stehen und der Mittelpunkt ihrer Grundfläche im Ursprung des x-y-Koordinatensystems liegt. Wenn wir die Pyramide in einer Richtung orthogonal zur x-y-Ebene betrachten, erscheint sie wie eine zweidimensionale Form, die unten dargestellt ist. AC ist die Kantenlänge (Seitenhöhe).
Sei \( x = A'B' \) die Länge der Hälfte der Seitenlänge des Quadrats in der Höhe \( y \). Die Fläche \( A \) des Quadrats in der Höhe \( y \) ist gegeben durch:
\[ A(x) = (2x)^2 \]
Das Volumen wird ermittelt, indem alle Volumina \( A \, dy \), aus denen die Pyramide von \( y = 0 \) bis \( y = H \) besteht, aufsummiert werden. Somit
Volumen = \( \int_{0}^{H} A^2 \, dy \)
Wir nutzen nun die Tatsache, dass die Dreiecke ABC und AB'C' ähnlich sind und daher die Längen ihrer entsprechenden Seiten proportional sind, um zu schreiben:
\[ \frac{a/2}{x} = \frac{H}{H - y} \]Wir lösen die obige Gleichung nach \( x \) auf und erhalten:
\[ x = \frac{a (H - y)}{2 H} \]Wir setzen nun \( x \) in das Integral für das Volumen ein und erhalten:
\[ \text{Volumen} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} (H - y)^2 \, dy \]Definieren wir \( t \) durch:
\[ t = H - y \quad \text{und} \quad dt = - dy \]Wir substituieren und ändern die Integrationsgrenzen, um das Volumen wie folgt zu schreiben:
\[ \text{Volumen} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{H}^{0} t^2 (- dt) \]Wir werten das Integral aus und vereinfachen:
\[ \text{Volumen} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \left[\frac{H^3}{3}\right] \] \[ \text{Volumen} = \frac{a^2 H}{3} \]Das Volumen einer quadratischen Pyramide ergibt sich aus der Grundfläche multipliziert mit einem Drittel der Höhe der Pyramide.