Finden Sie die Formel für das Volumen einer quadratischen Pyramide mithilfe von Integralen in der Analysis.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar.
Problem & Herleitung
Problem: Eine Pyramide ist in der Abbildung unten dargestellt. Ihre Grundfläche ist ein Quadrat der Seitenlänge \( a \) und orthogonal zur y-Achse. Die Höhe der Pyramide beträgt \( H \). Verwenden Sie Integrale und deren Eigenschaften, um das Volumen der quadratischen Pyramide in Abhängigkeit von \( a \) und \( H \) zu berechnen.
Lösung des Problems:
Positionieren wir die Pyramide zunächst so, dass zwei gegenüberliegende Seiten der quadratischen Grundfläche senkrecht zur x-Achse stehen und der Mittelpunkt ihrer Grundfläche im Ursprung des x-y-Achsensystems liegt. Wenn wir die Pyramide in einer Richtung orthogonal zur x-y-Ebene betrachten, sieht sie wie eine zweidimensionale Form aus, wie unten dargestellt. \( AC \) ist die Seitenhöhe (Apothem).
Sei \( x = A'B' \) die Länge der halben Seite des Quadrats in der Höhe \( y \). Die Fläche \( A \) des Quadrats in der Höhe \( y \) ist gegeben durch:
\[ A(x) = (2x)^2 \]Das Volumen wird ermittelt, indem alle Volumina \( A \, dy \) addiert werden, aus denen die Pyramide von \( y = 0 \) bis \( y = H \) besteht. Daher:
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{H} A(x) \, dy \] \[ = 4 \int_{0}^{H} x^2 \, dy \]Wir nutzen nun die Tatsache, dass die Dreiecke \( ABC \) und \( AB'C' \) ähnlich sind und daher die Längen ihrer entsprechenden Seiten proportional sind, um zu schreiben:
\[ \frac{a/2}{x} = \frac{H}{H - y} \]Wir lösen das Obige nun nach \( x \) auf:
\[ x = \frac{a (H - y)}{2H} \]Wir ersetzen nun \( x \) in dem Integral, das das Volumen liefert:
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} (H - y)^2 \, dy \]Definieren wir \( t \) durch:
\[ t = H - y \quad \text{and} \quad dt = -dy \]Einsetzen und Ändern der Integrationsgrenzen, um das Volumen wie folgt zu schreiben:
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{H}^{0} t^2 (-dt) \] \[ = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} t^2 \, dt \]Auswerten des Integrals und Vereinfachen:
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \left[\frac{H^3}{3}\right] \] \[ \Large \displaystyle \boxed{\text{Volume} = \frac{a^2 H}{3}} \]Das Volumen einer quadratischen Pyramide ergibt sich aus der Grundfläche mal einem Drittel der Pyramidenhöhe.