Der Beweis der Ableitung von \( \sin(x) \) wird unter Verwendung der Definition der Ableitung präsentiert. Die Ableitung einer zusammengesetzten Sinusfunktion wird ebenfalls vorgestellt, einschließlich Beispielen mit ihren Lösungen.
Beweis der Ableitung von sin(x) mithilfe der Definition
Die Definition der Ableitung \( f' \) einer Funktion \( f \) ist gegeben durch:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]Sei \( f(x) = \sin(x) \) und schreiben Sie die Ableitung von \( \sin(x) \) als Grenzwert:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \]Verwenden Sie die Formel \( \sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) \), um den Zähler umzuformulieren:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} \]Formen Sie \( f'(x) \) wie folgt um:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1) + \cos(x) \sin(h)}{h} \]Verwenden Sie den Satz: Der Grenzwert der Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Grenzwerte dieser Funktionen:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) \sin(h)}{h} \]Klammern Sie Terme aus, die unabhängig von \( h \) sind:
\[ f'(x) = \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} \]Wir verwenden nun die folgenden Standard-Grenzwerte der Trigonometrie:
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1 \](bewiesen über das Sandwich-Theorem)
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} = 0 \](bewiesen bei der Berechnung von Grenzwerten trigonometrischer Funktionen)
Setzen Sie diese Grenzwerte in den Ausdruck für \( f'(x) \) ein:
\[ f'(x) = \sin(x)(0) + \cos(x)(1) = \cos(x) \]Graph von sin(x) und seiner Ableitung
Die Graphen von \( \sin(x) \) und ihrer Ableitung sind unten dargestellt. Beachten Sie, dass jedes Minimum oder Maximum von \( \sin(x) \) einer Nullstelle der Ableitung \( \cos(x) \) entspricht. Darüber hinaus ist die Ableitung über jedem Intervall, in dem \( \sin(x) \) steigt, positiv und über jedem Intervall, in dem \( \sin(x) \) fällt, negativ.
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Ableitung der zusammengesetzten Funktion sin(u(x))
Betrachten wir nun die zusammengesetzte Funktion Sinus einer anderen Funktion \( u(x) \). Verwenden Sie die Kettenregel der Differentiation, um zu schreiben:
\[ \dfrac{d}{dx} \sin(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sin u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \] \[ = \cos u \dfrac{du}{dx} \]Beispiele mit Lösungen
Durchgerechnete Beispiele: Ableiten zusammengesetzter Sinusfunktionen
Finden Sie die Ableitung der zusammengesetzten Sinusfunktionen:
- \( f(x) = \sin(x^2 - x) \)
- \( g(x) = \sin(\sin x) \)
- \( h(x) = \sin \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \)
Lösungen:
-
Sei \( u(x) = x^2 - x \), dann ist \( \dfrac{du}{dx} = 2x - 1 \).
Anwendung der Regel für die zusammengesetzte Sinusfunktion: \[ f'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(x^2 - x) \cdot (2x - 1) = (2x - 1) \cos(x^2 - x) \] -
Sei \( u(x) = \sin x \), dann ist \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \).
Anwendung der Regel: \[ g'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(\sin x) \cdot \cos x = \cos x \cos(\sin x) \] - Sei \( u(x) = \dfrac{1-x}{1+x} \). Unter Verwendung der Quotientenregel: \[ \dfrac{du}{dx} = \dfrac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \dfrac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \dfrac{-2}{(1+x)^2} \] Anwendung der Regel: \[ h'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{(1+x)^2}\right) = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \]