Beweis der Ableitung von sin x

Der Beweis der Ableitung von \( \sin (x)\) wird unter Verwendung der Definition der Ableitung vorgestellt. Die Ableitung einer verketteten Sinusfunktion wird ebenfalls mit Beispielen und deren Lösungen präsentiert.

Beweis der Ableitung von sin x mittels Definition

Die Definition der Ableitung \( f' \) einer Funktion \( f \) ist gegeben durch \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \] Sei \( f(x) = \sin(x) \) und schreibe die Ableitung von \( \sin(x) \) als Grenzwert \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \] Verwende die Formel \( \sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)\), um die Ableitung von \( sin(x) \) umzuschreiben als \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} \] Schreibe \( f'(x) \) wie folgt um \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1) + \cos(x) \sin(h))}{h} \] Verwende den Satz: Der Grenzwert der Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Grenzwerte dieser Funktionen, um \( f'(x) \) wie folgt umzuschreiben \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) \sin(h)}{h} \] Schreibe das Obige um als \[ f'(x) = \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{ (\cos(h) - 1)}{h} + \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{ \sin(h)}{h} \] Wir verwenden nun die folgenden Ergebnisse über Grenzwerte trigonometrischer Funktionen \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1 \] bewiesen im Einsatz des Einschnürungssatzes zur Bestimmung von Grenzwerten mathematischer Funktionen. \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} = 0 \] bewiesen in Berechnung von Grenzwerten trigonometrischer Funktionen um \( f'(x) \) zu vereinfachen zu \[ f'(x) = \sin(x) (0) + \cos(x) (1) = \cos(x) \] Fazit \[ \boxed{ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \sin x = \cos x } } \]

Graph von sin x und seiner Ableitung

Die Graphen von \( \sin(x) \) und seiner Ableitung sind unten dargestellt. Beachten Sie, dass jedem Minimum oder Maximum von \( \sin(x) \) eine Nullstelle der Ableitung \( \cos(x) \) entspricht. Auch für jedes Intervall, in dem \( \sin(x) \) steigt, ist die Ableitung positiv, und für jedes Intervall, in dem \( \sin(x) \) fällt, ist die Ableitung negativ.

Ableitung der verketteten Funktion sin(u(x))

Betrachten wir die Verkettung Sinus einer anderen Funktion u(x). Verwenden Sie die Kettenregel der Differentiation um zu schreiben \[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \sin (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \sin u) (\dfrac{d}{dx} u ) \] Vereinfachen \[ = \cos u \dfrac{du}{dx} \] Fazit \[ \boxed{ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \sin (u(x)) = \cos u \dfrac{du}{dx} } \]

Beispiel 1
Finden Sie die Ableitung der verketteten Sinusfunktionen

1. \( f(x) = \sin (x^2-x) \)
2. \( g(x) = \sin (\sin(x)) \)
3. \( h(x) = \sin \left(\dfrac{1-x}{1+x} \right) \)

Lösung zu Beispiel 1

1. 
   Sei \( u(x) = x^2-x \) und daher \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (x^2-x) = 2x - 1 \) und wenden Sie die oben gegebene Regel für die verkettete Sinusfunktion an
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = \cos u \dfrac{d}{dx} u = \cos (x^2-x) \times (2x-1) \)
   
   \( = (2x-1) \cos (x^2-x) \)
   
   
2. 
   Sei \( u(x) = \sin x \) und daher \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x \). Wenden Sie die obige Differentiationsregel für die verkettete Sinusfunktion an
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \cos u \dfrac{d}{dx} u = \cos (\sin x) \times (\cos x) \)
   
   \( = \cos x \cos (\sin x) \)
   
   
3. 
   Sei \( u(x) = \dfrac{1-x}{1+x} \) und daher \( \dfrac{d}{dx} u = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \) und wenden Sie die oben erhaltene Differentiationsregel für die verkettete Sinusfunktion an
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \cos u \dfrac{d}{dx} u = \cos (\dfrac{1-x}{1+x}) \times ( -\dfrac{2}{(1+x)^2}) \)
   
   \( = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \cos (\dfrac{1-x}{1+x}) \)
   
   

Weitere Referenzen und Links