Löse die Gleichungssysteme.
a)
Erweitere die linken Seiten und schreibe das Gleichungssystem in Standardform mit Konstantentermen auf der rechten Seite um.
Addiere die linken Terme und die rechten Terme der Gleichungen (I) und (II), um die Terme mit x zu eliminieren.
Vereinfache, um eine Gleichung mit einer Unbekannten zu erhalten.
Löse für y
\( \)\( \)\( \)\( \) Setze \( y = 0 \) in eine der Gleichungen (I) (oder (II)) ein, um
\( \quad -2x-(0) = 2 \)
Löse die obige Gleichung nach \( x \) auf, um
\( \quad x = - 1 \)
Die Lösung des gegebenen Gleichungssystems ist das geordnete Paar
\[ (-1,0) \]
b)
\( \quad \begin{cases} \displaystyle \frac{x-1}{3} + y & = & 5 \\ 2(x+3) - \frac{y}{5} & = & 7\end{cases} \)
Um die Nenner in den beiden Gleichungen im gegebenen System zu eliminieren, multipliziere alle Terme der ersten Gleichung mit \( 3 \) und multipliziere alle Terme der zweiten Gleichung mit \( 5 \).
\( \quad \begin{cases} \displaystyle \color{red}{3}\frac{x-1}{3} + \color{red}{3} y & = & \color{red}{3} \cdot 5 \\ \displaystyle \color{red}{5} ( 2(x+3) ) - \color{red}{5} \frac{y}{5} & = & \color{red}{5} \cdot 7\end{cases} \)
Erweitere, vereinfache und schreibe das Gleichungssystem in Standardform.
\( \quad \begin{cases} \displaystyle x + 3 y & = & 16 \\ 10 x - y & = & 5\end{cases} \)
Um die Terme in \( y \) zu eliminieren, multipliziere alle Terme der zweiten Gleichung mit 3.
\( \quad \begin{cases} \displaystyle x + 3 y & = & 16 \\ \color{red}3(10 x - y) & = & \color{red}3 \cdot 5\end{cases} \)
Erweitere
\( \quad \begin{cases} \displaystyle x + 3 y & = & 16 \qquad (I) \\ 30 x - 3y & = & 15 \qquad (II) \end{cases} \)
Addiere die linken Seiten der Gleichungen zusammen und die rechten Seiten zusammen, um die Terme in \( y \) zu eliminieren.
\( \quad 31 x = 31 \)
Löse für \( x \)
\( \quad x = 1 \)
Setze \( x = 1 \) in Gleichung (I) (oder Gleichung (II) ) ein
\( \quad (1) + 3 y = 16 \)
Löse für \( y \)
\( \quad y = 5 \)
Die Lösung des gegebenen Gleichungssystems ist das geordnete Paar
\[ (1,5) \]
c)
\( \displaystyle \quad \begin{cases} (x-1)^2 + y & = & -1 \qquad (I) \\ - 4 x + 2y & = & -6 \qquad (II) \end{cases} \)
Löse Gleichung (II) nach \( y \) auf, um
\( \quad y = 2x - 3 \qquad (III) \)
Setze \( y = 2x - 3 \) in Gleichung (II) ein und schreibe um
\( \quad (x-1)^2 + \color{red}{(2x - 3)} = -1 \)
Erweitere und schreibe in Standardform \( \quad x^2 - 1 = 0 \)
Löse die obige Gleichung nach \( x \) auf, um die Lösungen zu erhalten \( \quad x = 1 \) und \( x = - 1\)
Nachdem die Lösungen \( x \) gefunden wurden, setzen wir jeden Wert der Lösungen \( 1 \) und \( -1 \) in Gleichung (III) ein, um die entsprechenden Werte der Lösungen \( y \) zu erhalten.
Setze \( x = 1 \) in Gleichung (III) ein, um
\( \quad y = 2(1) - 3 = -1 \)
Setze \( x = - 1 \) in Gleichung (III) ein, um
\( \quad y = 2(-1) - 3 = - 5 \)
Die beiden geordneten Paare, die Lösungen des gegebenen Gleichungssystems sind
\[ (1,-1) \quad \text{und} \quad (-1,-5) \]
Ausmultiplizieren und die Ausdrücke vereinfachen.
a)
\( \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 \)
Multipliziere das Produkt \( (x+2)(x-1) \) und das Quadrat \( (x-2)^2 \)
\( \quad (x+2)(x-1) = x^2+x-2 \)
\( \quad (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)
Setze das Obige in den gegebenen Ausdruck ein
\( \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 = - (x^2+x-2 ) + (x^2 - 4x + 4 ) \)
Nimm die Klammern raus und ändere die Vorzeichen für Ausdrücke mit dem Minuszeichen vorne.
\( \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 = - x^2 - x + 2 + x^2 - 4x + 4 \)
Gruppiere gleichartige Terme und vereinfache.
\[ \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 = -5x+6 \]
b)
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) \)
Multipliziere die Produkte \( (x-2)(x^2 + 3x -3) \) und \( (x-1)(x+1) \).
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) = x^3+x^2-9x+6 \)
\( \quad (x-1)(x+1) = x^2 - 1\)
Setze das Obige in den gegebenen Ausdruck ein
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) = (x^3+x^2-9x+6) - (x^2 - 1) \)
Nimm die Klammern raus und ändere die Vorzeichen für Ausdrücke mit dem Minuszeichen vorne.
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) = x^3+x^2-9x+6 - x^2+1 \)
Gruppiere gleichartige Terme und vereinfache.
\[ \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) = x^3-9x+7 \]
Faktorisiere die Ausdrücke vollständig.
a)
\( \quad 3x^3+6x^2 \)
Schreibe jeden Term als Produkt von Primfaktoren um
\( \quad 3x^3 = 3 \cdot x \cdot x \cdot x \)
\( \quad 6x^2 = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \)
Identifiziere alle gemeinsamen Faktoren
\( \quad 3x^3 = \color{red}3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \cdot x \)
\( \quad 6x^2 = 2 \cdot \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \)
Der größte gemeinsame Faktor ist
\( \quad 3 \cdot x \cdot x \)
Setze jeden Term durch seine faktorierte Form ein und schreibe den gegebenen Ausdruck als
\( \quad 3x^3+6x^2 = \color{red}3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \cdot x + 2 \cdot \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \)
Faktorisiere den gemeinsamen Faktor \( \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \) und schreibe das Obige als
\( \quad 3x^3+6x^2 = \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x (x+2) \)
Beachte, dass \( 3 \cdot x \cdot x = 3 x^2 \), der gegebene Ausdruck in faktorisierter Form ist
\[ \quad 3x^3+6x^2 = 3 x^2 (x+2) \]
b)
\( \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) \)
Faktorisiere \( (x-3) \)
\( \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) = (x-3)(x^2 + 3x + 2- (x+1)) \)
Vereinfache \( (x^2 + 3x + 2- (x+1)) \) und schreibe das Obige als
\( \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) = (x-3)(x^2+2x+1) \)
Beachte, dass \( x^2+2x+1 = (x+1)^2 \), daher \[ \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) = (x-3)(x+1)^2 \]
c)
\( \quad 81 x^2 - 16 y^2\)
Beachte, dass \( 81 = 9^2 \), \( x^2 = x^2 \), \( 16 = 4^2 \) und \( y^2 = y^2 \), schreibe den gegebenen Ausdruck als Differenz von Quadraten um
\( \quad 81 x^2 - 16 y^2 = (9x)^2 - (4y)^2 \)
Verwende nun die Identität bezüglich der Differenz von Quadraten \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), um den obigen Ausdruck zu faktorisieren
\[ (9x)^2 - (4y)^2 = (9x - 4y)(9x + 4y) \]
d)
\( \quad -6x^2+7x-2 \)
Faktorisiere das Minuszeichen aus
\( \quad -6x^2+7x-2 = - (6x^2 - 7 x + 2) \qquad (I) \)
Um \( 6x^2 - 7 x + 2 \) zu faktorisieren, schreiben wir es als \( \quad 6x^2 - 7 x + 2 = ( ax + b) (c x + d) \)
wo das Produkt \( b \cdot d = 2 \) bedeutet, dass entweder \( b = 1 \) und \( d = 2 \) oder \( b = - 1 \) und \( d = - 2 \)
Das Produkt \( a \cdot c = 6 \) bedeutet die folgenden möglichen Werte: \( a = 1 \) und \( c = 6 \), oder \( a = 2 \) und \( c = 3 \) oder \( a = 3 \) und \( c = 2 \)
Nach dem Einsetzen der Werte von \( a, b, c ,d \) erhalten wir die faktorisierte Form
\( \quad 6x^2 - 7 x + 2 = (2x-1)(3x-2) \)
Setze in (I) oben ein \[ \quad -6x^2+7x-2 = - (2x-1)(3x-2) \]
Gegeben ist \( f(x) = -2 x^2 - 2 x + 4 \), finde
a) den Scheitelpunkt des Graphen von \( f \),
b) die x- und y-Intercepten des Graphen der Funktion \( f(x) = -2 x^2 - 2 x + 4 \),
c) die Achse der Symmetrie des Graphen von \( f \).
d) Benutze einen Taschenrechner, um \( f \) zu zeichnen und überprüfe die Antworten für a), b) und c).
a)
\( f \) ist eine quadratische Funktion, und ihr Graph ist eine Parabel.
Schreibe die gegebene Funktion zuerst in die Standardform der Scheitelpunktform \( \; f(x) = a (x - h)^2 + k \; \) um, indem du das Quadrat vervollständigst , wobei der Scheitelpunkt die Koordinaten \( (h,k) \) hat.
Faktorisiere \( -2 \) aus den Termen mit \( x \) und \( x^2\) in \( \; f(x)\)
\( \quad f(x) = - 2 (x^2 + x) + 4 \)
Vervollständige das Quadrat des Ausdrucks in der Klammer.
\( \quad \displaystyle \quad f(x) = - 2 \left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \right) + 4 \)
Vereinfache und schreibe das Obige als
\( \quad \displaystyle \quad f(x) = - 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{2} \)
Vergleiche die oben stehende Funktion \( \; f(x) = - 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{2} \; \) mit der Standardform des Scheitelpunkts \( \; f(x) = a (x - h)^2 + k \; \), wir können schreiben, dass \( h = - \frac{1}{2} \) und \( k = \frac{9}{2} \)
Daher hat der Scheitelpunkt die Koordinaten \( \displaystyle \left(- \frac{1}{2} , \frac{9}{2} \right) \)
b)
Die x-Intercepten, sofern vorhanden, werden durch die Lösungen der Gleichung \( f(x) = 0 \) gegeben, daher die Gleichung
\( \quad \displaystyle \quad - 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{2} = 0 \)
Die ergibt
\( \quad 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{9}{2} \)
\( \quad \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} \)
Löse durch Extrahieren der Quadratwurzel
\( \quad \left(x + \frac{1}{2} \right) = \pm \sqrt {\frac{9}{4}} \)
Vereinfache, um die beiden Lösungen zu erhalten
\( \quad \left(x + \frac{1}{2} \right) = \pm \frac{3}{2} \)
\( \quad x_1 = 1 \) und \( x_2 = - 2 \)
Der y-Intercept wird durch \( y = f(0) = 4 \) gegeben
c)
Die Achse der Symmetrie des Graphen von \( f \) ist durch die vertikale Linie \( x = h = - \frac{1}{2} \) gegeben
d)
Die Verwendung eines Grafikrechners gibt den folgenden Graphen, auf dem der Scheitelpunkt, die x- und y-Intercepten und die Achse der Symmetrie alle überprüft werden können.
Verwende die Verhältnismäßigkeit, um die Wertetabellen in a), b) und c) zu vervollständigen, wenn möglich.
a)
Es gibt zwei Arten von Verhältnismäßigkeitsregeln:
1) \( y \) ist direkt proportional zu \( x \), wenn es eine mathematische Beziehung zwischen \( y \) und \( x \) der Form gibt:
\( \quad \; y = k x \quad \) oder \( \quad \displaystyle \frac{y}{x} = k \quad \) wobei \( k \) eine Konstante ist.
2) \( y \) ist indirekt proportional zu \( x \), wenn es eine mathematische Beziehung zwischen \( y \) und \( x \) der Form gibt:
\( \quad \displaystyle y = \frac{k}{x} \quad \) oder \( \quad y \cdot x = k \quad \) wobei \( k \) eine Konstante ist.
Wir vervollständigen Tabelle a), indem wir das Verhältnis \( y / x \) und das Produkt \( y x \) wie unten gezeigt berechnen.
Es ist leicht zu erkennen, dass das Verhältnis konstant ist, sodass \( \quad \displaystyle \frac{y}{x} = 6 \quad \) und daher eine direkte Proportionalität zwischen \( y \) und \( x \) besteht, gegeben durch
\( \quad \displaystyle y = 6 x \quad \)
Wir vervollständigen die Tabelle jetzt, indem wir \( y \) für \( x = 0.2 \) berechnen \[ \displaystyle y = 6 \cdot 0.2 = 1.2 \quad \]
b)
Wir vervollständigen Tabelle b), indem wir das Verhältnis \( y / x \) und das Produkt \( y x \) wie unten gezeigt berechnen.
Es ist leicht zu erkennen, dass das Produkt konstant ist, sodass \( \quad y x = 0.2 \quad \) und daher eine inverse Proportionalität zwischen \( y \) und \( x \) besteht, gegeben durch
\( \quad \displaystyle y x = 0.2 \quad \) oder \( \quad \displaystyle y = \frac{0.2}{x} \quad \)
Wir vervollständigen die Tabelle jetzt, indem wir \( y \) für \( x = 20 \) berechnen \[ \displaystyle y = \frac{0.2}{20} = 0.01 \]
c)
Wir vervollständigen Tabelle c), indem wir das Verhältnis \( y / x \) und das Produkt \( y x \) wie unten gezeigt berechnen.
Es ist leicht zu erkennen, dass weder das Verhältnis \( \quad y / x \) noch das Produkt \( y x \) konstant ist, und daher gibt es weder eine direkte noch eine inverse Proportionalität zwischen \( y \) und \( x \) in der Tabelle. Daher können wir \( y \) für \( x = 11 \) in Teil c) nicht berechnen, da wir die Beziehung zwischen \( y \) und \( x \) nicht kennen.
Finde alle unbekannten Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck unten.
Um die unbekannten Seiten zu finden, müssen wir \( x \) finden.
Das Satz des Pythagoras auf das gegebene Dreieck angewendet gibt:
\( \quad {\overline{AC}}^2 = {\overline{AB}}^2 + {\overline{BC}}^2 \)
Setze \( \overline{AC} , \overline{AB} \) und \( \overline{BC} \) durch die gegebenen Ausdrücke und Werte ein, um die Gleichung zu schreiben
\( \quad (4x-1)^2 = (2x+1)^2 + 12^2 \)
Erweitere das Quadrat, fasse gleichartige Terme zusammen, vereinfache und schreibe die Gleichung in Standardform um.
\( \quad 12x^2-12x-144 = 0 \)
Teile alle Terme der Gleichung durch \( 12 \) und vereinfache
\( \quad x^2-x-12 = 0 \)
Löse, um zu erhalten
\( \quad x = 4 \) und \( x = -3 \)
Die Lösung \( x = - 3 \) würde \( \overline{AC} = 4 x - 1 = -13 \) ergeben, was nicht akzeptabel ist, da die Länge der Hypotenuse nicht negativ sein kann.
Nehmen wir \( x = 4 \) und finden die unbekannte Seite und die Hypotenuse.
\( \quad \overline{AC} = 4 x - 1 = 15\)
\( \quad \overline{AB} = 2x +1 = 9\)
Unter Verwendung der Definition des Tangens des Winkels \( ACB \) haben wir
\( \quad \displaystyle \tan \angle ACB = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)
Daher
\( \quad \angle ACB = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) = 36.87^{\circ} \)
Die Winkel \( CAB \) und \( ACB \) sind komplementär und daher
\( \quad \angle CAB = 90 - 36.87 = 53.13^{\circ} \)
Winkel \( \alpha \) ist ein spitzer Winkel, sodass \( \sin \alpha = 0.6 \). Finde \( \cos \alpha\) und \( \tan \alpha\)
Betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel \( \alpha \) derart, dass
\( \quad \displaystyle \sin \alpha = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac{a}{c} = \frac{0.6}{1} = 0.6 \)
Verwende den Satz des Pythagoras, um \( b \) zu finden
\( \quad c^2 = a^2 + b^2 \)
Setze ein, um zu finden
\( \quad 1 = 0.6^2 + b^2 \)
Löse nach \( b^2 \)
\( \quad b^2 = 1 - 0.36 = 0.64\)
Löse nach \( b \)
\( \quad b = \sqrt {0.64} = 0.8\)
Wir verwenden nun die Definitionen von Kosinus und Tangens
\( \quad \displaystyle \cos \alpha = \frac{Anliegende Seite}{Hypotenuse} = \frac {0.8}{1} = 0.8 \)
\( \quad \displaystyle \tan \alpha = \frac{Gegenkathete}{Anliegende} = \frac{0.6}{0.8} = \frac{3}{4} = 0.75 \)
In der Abbildung unten ist BE parallel zu CD. Finde die Längen \( x \) und \( y \) der Abschnitte CD und DE.
Die Dreiecke \( ABE \) und \( ACD \) haben einen gemeinsamen Winkel \( A \).
Da \( BE \) parallel zu \( CD \) ist, sind die Winkel \( ABE \) und \( ACD \) entsprechende Winkel und daher kongruent.
Auch die Winkel \( AEB \) und \( ADC \) sind entsprechende Winkel und daher kongruent.
Dreiecke \( ABE \) und \( ACD \) haben alle drei Winkel kongruent und sind daher ähnlich ..
Ähnliche Dreiecke haben Verhältnismäßigkeit zwischen den Seiten wie folgt
\( \quad \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{BE}}{\overline{CD}} \)
Setze die bekannten Größen ein, um die Gleichung zu erhalten
\( \quad \displaystyle \frac{10}{10+2} = \frac{6}{X} \)
\( \quad x = 7.2 \)
Die Verhältnismäßigkeit der Seiten der ähnlichen Dreiecke ergibt auch
\( \quad \displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{AD}} = \frac{\overline{EB}}{\overline{DC}} \)
Setze die bekannten Größen ein, um die Gleichung zu erhalten
\( \quad \displaystyle \frac{11}{11+y} = \frac{6}{7.2} \)
Löse für \( y = 2.2 \)
Die Längen der Seiten AB und BC eines Dreiecks ABC betragen 14 cm bzw. 10 cm. Die Größe des Winkels C beträgt 49o. Finde alle unbekannten Winkel und alle unbekannten Seiten des Dreiecks.
Zeichne ein Dreieck und beschrifte alle bekannten Größen.
Wende die Sinusregel an
\( \quad \displaystyle \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \)
Löse nach \( \sin A \)
\( \quad \displaystyle \sin A = \frac {a}{c} \sin C \)
Setze ein und löse nach \( A \)
\( \quad \displaystyle A = \sin^{-1} \left(\frac {a}{c} \sin C \right) = \sin^{-1} \left(\frac {10}{14} \sin 49^{\circ} \right) = 32.62^{\circ}\)
In jedem Dreieck ist die Summe aller drei Winkel \( A, B , C \) gleich \( 180^{\circ} \); daher
\( \quad \displaystyle \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)
Löse nach Winkel \( B \)
\( \angle B = 180 - (49 + 32.62) = 98.38^{\circ}\)
Die Seite \( b \) kann mit der Sinusregel gefunden werden.
\( \quad \displaystyle \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \)
Löse nach \( b \)
\( \quad \displaystyle b = a \frac{\sin B}{\sin A} \)
Setze ein und vereinfache
\( \quad \displaystyle b = 10 \frac{\sin 98.38^{\circ}}{\sin 32.62^{\circ}} = 18.35\)
BEACHTE , dass die Seite \( b \) mit dem Kosinussatz wie folgt berechnet werden kann
\( \quad \displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B \)
Setze ein
\( \quad \displaystyle b^2 = 10^2 + 14^2 - 2 \cdot 10 \cdot 14 \cos 98.38^{\circ} = 336.80655\)
Nimm die Quadratwurzel, um zu finden
\( \quad b = \sqrt {336.80655} \approx 18.35 \)
Finde die Werte von \( A \) und \( B \), wenn die Linie mit der Gleichung \( A x + By = 1 \) durch die Punkte \( (1,5) \) verläuft und einen y-Achsenabschnitt bei \( y = 3 \) hat.
Wenn die Linie durch die Punkte \( (1,5) \) verläuft, dann erfüllen die x- und y-Koordinaten dieses Punktes die Gleichung der Linie. Setze daher \( x \) und \( y \) durch \( 1 \) bzw. \( 5 \) in die Gleichung der Linie ein, um die Gleichung zu erhalten:
\( \quad A (1) + B(5) = 1 \)
was als
\( \quad A + 5 B = 1 \)
geschrieben werden kann.
Wenn die Linie einen y-Achsenabschnitt bei \( y = 3 \) hat, bedeutet dies, dass die Linie durch den Punkt \( (0 , 3) \) verläuft. Daher ergibt sich die Gleichung
\( \quad A (0) + B(3) = 1 \)
was als
\( \quad 3 B = 1 \)
geschrieben werden kann.
Löse die obige Gleichung nach \( B \) auf, um
\( \quad \displaystyle B = \frac{1}{3} \)
Setze \( B = \frac{1}{3} \) in die Gleichung \( \quad A + 5 B = 1 \) ein
\( \quad \displaystyle A + 5 \cdot \frac{1}{3} = 1 \)
Löse nach \( A \)
\( \quad \displaystyle A = 1 - \frac{5}{3} = - \frac{2}{3} \)
Ein Chemiker muss 5 Liter einer 45%igen Schwefelsäurelösung herstellen. Er hat 20% und 55% ige Schwefelsäurelösungen nach Volumen zur Verfügung. Er entscheidet sich, die 20% und 55% igen Lösungen zu mischen, um die 45% ige Lösung herzustellen. Wie viele Liter jeder Lösung müssen gemischt werden?
Sei \( x \) die Anzahl der Liter der \( 20\% \) igen Schwefelsäurelösung und \( y \) die Anzahl der Liter der \( 55\% \) igen Schwefelsäurelösung.
Wir müssen eine Lösung von 5 Litern herstellen, daher die Gleichung
\( \quad x + y = 5 \qquad (I) \)
Die Menge an Schwefelsäure in \( x \) und die Menge an Schwefelsäure in \( y \) ist gleich der Menge an Schwefelsäure in den gesamten 5 Litern; daher die Gleichung
\( \quad 20\% \cdot x + 55\% \cdot y = 45\% \cdot 5 \)
Die letzte Gleichung kann geschrieben werden als
\( \quad \displaystyle \frac{20 x}{100} + \frac{55 y}{100} = \frac{45 \cdot 5}{100} \)
Multipliziere alle Terme der obigen Gleichung mit \( 100 \) und vereinfache, um die Nenner zu eliminieren und die Gleichung als
\( \quad 20 x + 55 y = 225 \qquad (II) \)
zu schreiben. Die Gleichungen (I) und (II) bilden ein Gleichungssystem, das gelöst werden muss.
Löse Gleichung (I) nach \( y \) auf, um
\( \quad y = 5 - x \)
Setze \( y = 5 - x \) in Gleichung (II) ein
\( \quad 20 x + 55 (5 - x ) = 225 \qquad (II) \)
Löse die obige Gleichung nach \( x \)
\( \quad x \approx 1.42 \) Liter
\( \quad y = 5 - 1.42 = 3.58 \) Liter
Daher müssen \( 1.42 \) Liter einer \( 20\% \) igen Schwefelsäurelösung und \( 3.58 \) Liter einer \( 55\% \) igen Schwefelsäurelösung gemischt werden, um eine 5-Liter-Schwefelsäurelösung mit einer Konzentration von \( 45\% \) zu erhalten.
Eine Familie fuhr 1000 km von Paris nach Prag in 10 Stunden. Sie fuhr einen Teil der Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h und den Rest mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km/h. Welche Strecke sind sie mit jeder Geschwindigkeit gefahren?
Sei \( x \) und \( y \) die Strecken, die mit \( 80 \) km/h bzw. \( 120 \) km/h gefahren wurden.
Die Zeit, um die Strecke \( x \) zu fahren, wird durch (Zeit = Strecke / Geschwindigkeit) gegeben
\( \quad \displaystyle t_x = \frac{x}{80} \)
Die Zeit, um die Strecke \( y \) zu fahren, wird durch (Zeit = Strecke / Geschwindigkeit) gegeben
\( \quad \displaystyle t_y = \frac{y}{120} \)
Die Gesamtzeit, um die Gesamtstrecke \( x + y = 1000 \) zu fahren, wird als \( t_1 + t_ 2 = 10 \) Stunden angegeben. Daher das Gleichungssystem
\(\quad \displaystyle \left\{ \begin{aligned} x + y = 1000 \\ \frac{x}{80} + \frac{y}{120} = 10 \\ \end{aligned} \right.\)
Multipliziere die zweite Gleichung im obigen System mit dem Produkt \( 80 \cdot 120 \)
\(\quad \displaystyle \left\{ \begin{aligned} x + y = 1000 \\ \color{red}{80 \cdot 120}\frac{x}{80} + \color{red}{80 \cdot 120} \frac{y}{120} = \color{red}{80 \cdot 120} \cdot 10 \\ \end{aligned} \right.\)
Vereinfache
\(\quad \displaystyle \left\{ \begin{aligned} x + y = 1000 \\ 12 x + 8 y = 9600 \end{aligned} \right.\)
Löse das System auf jede Art und Weise, um
\( y = 600 \) km und \( x = 400 \) km zu erhalten.
Das Dreieck ABC hat die Eckpunkte \( A(2,3) \), \( B(-3 , 4) \) und \( C \) auf der vertikalen Linie \( x = -1 \). Finde alle möglichen Koordinaten des Punktes \( C \), so dass \( ABC \) ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \( AC \) ist.
Sei \( b \) die unbekannte y-Koordinate des Punktes \( C (-1,b) \).
\( \quad \displaystyle \overline {AC}^2 = (2-(-1))^2+(3-b)^2 \)
\( \quad \displaystyle \overline {AB}^2 = (2-(-3))^2+(3-4)^2 = 26 \)
\( \quad \displaystyle \overline {BC}^2 = (-3-(-1))^2+(4-b)^2 \)
Das Dreieck \(ABC\) ist genau dann ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \( AC \), wenn \( \overline {AC}^2 = \overline {AB}^2 + \overline {BC}^2 \), daher die Gleichung
\( \quad \displaystyle (2-(-1))^2+(3-b)^2 = 26 + (-3-(-1))^2+(4-b)^2 \)
\( \quad \displaystyle 2b = 28 \)
\( \quad b = 14 \)
Die Koordinaten des Punktes \( C \), so dass \( ABC \) ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \( AC \) ist, sind \( (-1,14) \)
Linda gibt \( 70\% \) ihres monatlichen Budgets für Wohnen und Essen aus und gibt \( \$ 500 \) mehr für Wohnen aus als für Essen. Sie gibt \( 5\% \) ihres Budgets aus, das sind \( \$ 200 \), für die monatliche Mitgliedschaft in einem Yoga-Club.
Wie viele Dollar gibt sie separat für Essen und Wohnen aus?
Sei \( x \) das Budget in Dollar. Es wird angegeben, dass \( 5\% \) ihres Budgets \( \$ 200 \) sind, daher die Gleichung
\( \quad 5\% \cdot x = 200 \)
Die geschrieben werden kann als
\( \quad \displaystyle \frac{5 x}{100} = 200 \)
Löse nach \( x \).
\( \quad x = 4000 \) Dollar
Sei \( h \) und \( f \) der Betrag in Dollar, der für Wohnen und Essen ausgegeben wird. Es wird angegeben, dass \( 70\% \) ihres monatlichen Budgets für Wohnen und Essen ist, daher die Gleichung
\( \quad \displaystyle h + f = 70\% \cdot 4000 \)
Was zu
\( \quad \displaystyle h + f = 2800 \qquad (I) \)
Es wird angegeben, dass Linda \( \$ 500 \) mehr für Wohnen ausgibt als für Essen, daher
\( \quad h = 500 + f \qquad (II) \)
Löse die Gleichungen (I) und (II) gleichzeitig, um
\( \quad h =1650 , f = 1150 \)
Daher gibt Linda \( \$ 1650 \) für Wohnen und \( \$ 1150 \) für Essen aus.
Finde den Flächeninhalt des unten abgebildeten Drachens, gegeben dass \( \overline {CD} = 10 \) cm.
Die Fläche \( A_r \) des gegebenen Drachens ist gegeben durch
\( A_r = \frac{1}{2} \overline {AC} \cdot \overline {BD} \)
Wir müssen daher \( \overline {AC} \) und \( \overline {BD} \) finden.
Da der Winkel \( \angle MDC = 45^{\circ} \) ist, ist \( \angle MCD = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \) und daher ist das Dreieck \( DMC \) ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck, daher
\( \quad \overline {DM} = \overline {MC} \) (gleichschenkliges Dreieck)
\( \quad \overline {DC}^2 = \overline {DM}^2 + \overline {MC}^2 \) (Pythagoreischer Lehrsatz)
Daraus folgt
\( \quad 10^2 = 2 \overline {DM}^2 \)
Löse, um zu erhalten
\( \quad \displaystyle \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} \)
Auch der Drachen ist symmetrisch und daher
\( \quad \displaystyle \overline {BM} = \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} \)
was zu
\[ \quad \overline {BD} =\overline {BM} + \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} + \frac{10}{\sqrt 2} = 10 \sqrt 2\] führt
Jetzt bestimmen wir die Höhe \( AM \) des Dreiecks \( ABD \) unter Verwendung des Winkels \( ABM \), dessen Größe gegeben ist.
\( \quad \displaystyle \tan 65^{\circ} = \frac{\overline {AM}}{\overline {BM}} \)
daher
\( \quad \displaystyle \overline {AM} = \overline {BM} \tan 65^{\circ} = \frac{10}{\sqrt 2} \tan 65^{\circ} \)
\( \quad \displaystyle \overline {MC} = \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} \) (gleichschenkliges Dreieck)
\[ \quad \displaystyle \overline {AC} = \overline {AM} + \overline {MC} = \frac{10}{\sqrt 2} \tan 65^{\circ} + \frac{10}{\sqrt 2} \]
Wir setzen nun in die oben gegebene Formel \( A_r = \frac{1}{2} \overline {AC} \cdot \overline {BD} \) ein, um die Fläche zu erhalten.
\[ \quad \displaystyle A_r = \frac{1}{2} \left(\frac{10}{\sqrt 2} \tan 65^{\circ} + \frac {10}{ \sqrt 2} \right) \cdot 10 \sqrt 2 = 157.23 \, \text{Quadrat Einheiten} \].
m und n sind parallele Linien. Zeige, dass die Linien m und r senkrecht zueinander stehen.
Bezeichne verschiedene Winkel.
Linien m und n sind parallel und Linie s schneidet beide, wodurch entsprechende Winkel entstehen.
Die Winkel \( \alpha \) und \( \beta \) sind entsprechende Winkel und haben daher gleiche Maße.
\( \quad \beta = \alpha = 33^{\circ} \)
Die Winkel \( \beta \) und \( \Omega \) sind Ständerwinkel und haben daher gleiche Maße.
\( \quad \Omega = \beta = 33^{\circ} \)
Wir verwenden nun die Summe der Winkel im Dreieck \( ABC \), um die Größe des Winkels \( \theta \) zu finden.
\( \quad 89 + 34 + \theta = 180 \)
Daher
\( \quad \theta = 180 - 89 - 34 = 57^{\circ}\)
Die Größe des Winkels, den die Linien r und m bilden, ist gleich \( \theta + \Omega \)
\( \quad \theta + \Omega = 57 + 33 = 90^{\circ}\)
Linien r und m bilden einen Winkel von \( 90^{\circ} \) und sind daher senkrecht.
Finde die Länge der Höhe AM der rechtwinkligen quadratischen Pyramide, wenn ihr Volumen 1500 Kubikzentimeter beträgt und die Länge der Diagonale CE ihrer Basis 10 Zentimeter entspricht.
Nenne die Länge der quadratischen Basis \( x \) und die Länge der Höhe AM \( h \). Die Formel des Volumens \( V \) der Pyramide lautet
\( \quad \displaystyle V = \frac{1}{3} x^2 h \)
Betrachten wir das rechtwinklige Dreieck \( CDE \) mit gleicher Seitenlänge \( x \) und die Länge seiner Hypotenuse \( CE \), die gleich 10 ist.
Verwende den Satz des Pythagoras
\( \quad x^2 + x^2 = 10^2 \)
\( \quad 2 x^2 = 100 \)
Löse nach \( x^2 \)
\( \displaystyle \quad x^2 = 50 \)
Setze nun \( x^2 \) und das Volumen \( V \) durch ihre Werte in die obige Formel ein, um die Gleichung zu schreiben
\( \quad \displaystyle 1500 = \frac{1}{3} 50 h \)
Löse nach \( h \)
\( \quad h = 90 \) cm
