Schritt-für-Schritt gelöste Beispiele
Beispiel 1: Menge geordneter Paare
Finden Sie die Umkehrfunktion von $f = \{(-2, 0), (0, 1), (2, 3), (3, 4)\}$.
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Um die Umkehrfunktion einer Menge von Punkten zu finden, vertauschen Sie einfach die x- und y-Koordinaten:
$$f^{-1} = \{(0, -2), (1, 0), (3, 2), (4, 3)\}$$Definitionsbereich von $f^{-1}$: $\{0, 1, 3, 4\}$
Wertebereich von $f^{-1}$: $\{-2, 0, 2, 3\}$
Beispiel 2: Lineare Funktion
Finden Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x + 2$.
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- Ersetzen Sie $f(x)$ durch $y$: $y = 2x + 2$
- Vertauschen Sie $x$ und $y$: $x = 2y + 2$
- Lösen Sie nach $y$ auf:
$x - 2 = 2y$
$y = \dfrac{1}{2}x - 1$
Ergebnis: $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}x - 1$
Beispiel 3: Kubikwurzelfunktion
Finden Sie die Umkehrfunktion von $g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$.
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- Variablen vertauschen: $x = \sqrt[3]{y - 1}$
- Beide Seiten kubieren: $x^3 = y - 1$
- Nach $y$ auflösen: $y = x^3 + 1$
Ergebnis: $g^{-1}(x) = x^3 + 1$
Beispiel 4: Logarithmische Funktion
Finden Sie die Umkehrfunktion von $h(x) = \ln(x - 1)$.
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- Variablen vertauschen: $x = \ln(y - 1)$
- In Exponentialform umwandeln: $e^x = y - 1$
- Nach $y$ auflösen: $y = e^x + 1$
Ergebnis: $h^{-1}(x) = e^x + 1$
Beispiel 5: Quadratwurzelfunktion
Finden Sie die Umkehrfunktion von $m(x) = \sqrt{x + 2}$.
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- Variablen vertauschen: $x = \sqrt{y + 2}$
- Beide Seiten quadrieren: $x^2 = y + 2$
- Nach $y$ auflösen: $y = x^2 - 2$
Wichtiger Hinweis: Da der Wertebereich der ursprünglichen Funktion $y \ge 0$ ist, muss der Definitionsbereich der Umkehrfunktion eingeschränkt werden.
Ergebnis: $m^{-1}(x) = x^2 - 2$ für $x \ge 0$
Beispiel 6: Rationale Funktion
Finden Sie die Umkehrfunktion von $t(x) = \dfrac{1}{x-1}$.
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- Variablen vertauschen: $x = \dfrac{1}{y-1}$
- Beide Seiten mit $(y-1)$ multiplizieren: $x(y-1) = 1$
- Ausmultiplizieren und $y$ isolieren:
$xy - x = 1$
$xy = 1 + x$
$y = \dfrac{x+1}{x}$
Ergebnis: $t^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x}$
