Inverse Funktion-Fragen zu geordneten Paaren, linearen, kubischen Wurzeln, Quadratwurzeln, logarithmischen und exponentiellen Funktionen werden zusammen mit detaillierten Lösungen präsentiert. Die Antworten werden algebraisch und grafisch überprüft, unter Verwendung der Eigenschaften einer gegebenen Funktion und ihrer Umkehrfunktion. Um effektiver zu sein, sollten die Fragen in der Reihenfolge gelöst werden, da jede Frage dabei hilft, die nächste besser zu verstehen.
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a) Finde die Umkehrfunktion der Funktion \( f \) gegeben durch:
\( f = \{( -2 , 0) , (0 , 1) , (2 , 3) , (3 , 4)\} \)
b) Finde den Definitionsbereich und Wertebereich der Umkehrfunktion von \( f \).
c) Sei \( f^{-1} \) die Umkehrfunktion von \( f \).
Berechne:
\( f(f^{-1}(1)) \; , \; f^{-1}(f(0)) \; , \; f^{-1}(f(2)) \; , \; f(f^{-1}(3)) \)
d) Zeichne \( f \) und \( f^{-1} \) im selben Koordinatensystem und notiere alle Eigenschaften von \( f \) und seiner Umkehrung \( f^{-1} \).
Lösung zu Frage 1
a)
Die Umkehrung von \( f \) wird gefunden, indem man die Eingabe und Ausgabe der gegebenen Funktion vertauscht. Daher wird die Umkehrfunktion von \( f \) wie folgt angegeben:
\( f^{-1} = \{(0 , -2) , (1 , 0) , (3 , 2) , (4 , 3)\} \)
b)
Definitionsbereich von \( f^{-1} \): \( \{0 , 1 , 3 , 4\} \)
Wertebereich von \( f^{-1} \): \( \{-2 , 0 , 2 , 3\} \)
c)
\( f(f^{-1}(1)) = f(0) = 1 \)
\( f^{-1}(f(0)) = f^{-1}(1) = 0 \)
\( f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(3) = 2 \)
\( f(f^{-1}(3)) = f^{-1}(4) = 3 \)
d)
Die Graphen von \( f \) (blau) und \( f^{-1} \) (rot) sind unten dargestellt.
Finde die Umkehrfunktion der linearen Funktion \( f(x) = 2x + 2 \) und zeichne \( f \) und ihre Umkehrung im selben Achsensystem.
Lösung zu Frage 2
Wie finde ich die Umkehrfunktion?
Schritt 1: Ersetze \( f(x) \) durch \( y \) und schreibe die Funktion als Gleichung wie folgt
\( y = 2 x + 2 \)
Schritt 2: Vertausche \( x \) und \( y \) in der obigen Gleichung
\( x = 2 y + 2 \)
Schritt 3: Löse die obige Gleichung nach \( y \)
\( 2 y = x - 2 \)
\( y = (1/2) x - 1 \)
Schritt 4: Schreibe die Umkehrung mit der Notation der Umkehrfunktion
\( f^{-1} (x) = (1/2) x - 1 \)
Schritt 5: Überprüfe die Antwort mit den Eigenschaften: \( f(^{-1}(x)) = x \) und \( f^{-1}(f(x)) = x \)
Eine Möglichkeit, die erhaltene Antwort zu überprüfen, besteht darin sicherzustellen, dass \( f(^{-1}(x)) = x \) und \( f^{-1}(f(x)) = x \) sind.
\( f(f^{-1}(x)) = 2(f^{-1}(x)) + 2 = x - 2 + 2 = x \)
\( f^{-1}(f(x)) = (1/2) f(x) - 1 = (1/2)(2 x + 2) - 1 = x + 1 - 1 = x \)
Die Graphen von \( f \) und \( f^{-1} \) sind unten dargestellt und man kann leicht sehen, dass die Graphen Spiegelungen voneinander an der Linie \( y = x \) sind. Dies ist eine graphische Methode, um zu überprüfen, ob ein Funktionspaar Umkehrungen voneinander sind.
Finde die Umkehrfunktion der Funktion \( g(x) = \sqrt[3] {x - 1} \) und zeichne \( g \) und ihre Umkehrung im selben Achsensystem.
Lösung zu Frage 3
Schritt 1: Schreibe die Funktion als Gleichung wie folgt
\( y = \sqrt[3] {x - 1} \)
Schritt 2: Vertausche x und y
\( x = \sqrt[3] {y - 1} \)
Schritt 3: Löse die obige Gleichung nach \( y \)
Erhöhe beide Seiten der Gleichung zur Potenz 3 und vereinfache
\( x^3 = (\sqrt[3] {y - 1})^3 \)
Vereinfache
\( x^3 = y - 1 \)
Löse nach \( y \)
\( y = x^3 + 1 \)
Schritt 4: Verwende die Notation der Umkehrfunktion
\( g^{-1} (x) = x^3 + 1 \)
Schritt 5: Überprüfe algebraisch die Antwort mit den Eigenschaften: \( g(^{-1}(x)) = x \) und \( g^{-1}(g(x)) = x \)
\( g(g^{-1}(x)) = \sqrt[3] {g^{-1}(x) - 1} = \sqrt[3]{x^3 + 1 - 1} = \sqrt[3]{x^3} = x \)
\( g^{-1}(g(x)) = g(x)^3 + 1 = (\sqrt[3]{x - 1)})^3 + 1 = x - 1 + 1 = x \)
Wir können leicht überprüfen, dass die Graphen der Funktionen \( g \) und \( g^{-1} \), unten dargestellt, Spiegelungen voneinander an der Linie \( y = x \) sind und daher Umkehrungen voneinander sind.
Finde die Umkehrfunktion der Funktion \( h(x) = \ln(x - 1) \) und zeichne \( h \) und ihre Umkehrung im selben Koordinatensystem.
Lösung zu Frage 4
Schritt 1: Schreibe die Funktion als Gleichung wie folgt
\( y = \ln(x - 1) \)
Schritt 2: Vertausche x und y
\( x = \ln(y - 1) \)
Schritt 3: Löse die obige Gleichung nach \( y \)
Wandle den Logarithmus in eine exponentielle Formel um
\( y - 1 = e^x \)
Löse nach \( y \)
\( y = e^x + 1 \)
Schritt 4: Verwende die Notation der Umkehrfunktion
\( h^{-1} (x) = e^x + 1 \)
Schritt 5: Überprüfe algebraisch die Antwort
\( h(h^{-1}(x)) = \ln(h^{-1}(x) - 1) = \ln(e^x + 1 - 1) = \ln(e^x) = x \)
\( h^{-1}(h(x)) = e^{h(x)} + 1 = e^{\ln(x - 1)} + 1 = x - 1 + 1 = x \)
Die Graphen von \( h \) und \( h^{-1} \) sind unten dargestellt. Die beiden Graphen spiegeln sich an der Linie \( y = x \) und sind daher Umkehrungen voneinander.
Finde die Umkehrfunktion der Funktion \( m(x) = \sqrt{x + 2} \)
Lösung zu Frage 5
Schritt 1: Schreibe die gegebene Funktion als Gleichung
\( y = \sqrt{x + 2} \)
Schritt 2: Vertausche x und y
\( x = \sqrt{y + 2} \)
Schritt 3: Löse die obige Gleichung nach \( y \)
Erhöhe beide Seiten der obigen Gleichung zur Potenz 2
\( x^2 = (\sqrt{y + 2})^2 \)
\( x^2 = y + 2 \)
Löse nach \( y \)
\( y = x^2 - 2 \)
Beachte, dass \( y = x^2 - 2 \) nicht injektiv ist und daher nicht umkehrbar ist. Wir müssen den Definitionsbereich einschränken. Der Definitionsbereich einer Umkehrfunktion ist der Wertebereich der gegebenen Funktion \( y = \sqrt{x + 2} \), der durch das Intervall \( [0, \infty) \) gegeben ist.
Schritt 4: Verwende die Notation der Umkehrfunktion
\( m^{-1} (x) = x^2 - 2 \; , \; x \ge 0 \) (eingeschränkter Definitionsbereich)
Schritt 5: Überprüfe algebraisch die Antwort
\( m(m^{-1}(x)) = \sqrt{m^{-1}(x) + 2} = \sqrt{x^2 - 2 + 2} = \sqrt{x^2} = | x | = x \; \) weil \( \; x \ge 0 \)
\( m^{-1}(m(x)) = (m(x))^2 - 2 = (\sqrt{x + 2})^2 - 2 = x + 2 - 2 = x \)
Die Graphen von \( m \) und \( m^{-1} \) sind unten dargestellt und spiegeln sich an der Linie \( y = x \), daher sind sie Umkehrungen voneinander.
Finde die Umkehrfunktion der Funktion \( t(x) = \dfrac{1}{x-1} \)
Lösung zu Frage 6
Schritt 1: Schreibe die gegebene Funktion als Gleichung
\( y = \dfrac{1}{x-1} \)
Schritt 2: Vertausche x und y
\( x = \dfrac{1}{y -1} \)
Schritt 3: Löse die obige Gleichung nach \( y \)
Multipliziere beide Seiten mit \( y - 1 \) und vereinfache
\( x(y - 1) = 1 \)
Erweitere die linke Seite der obigen Gleichung
\( x y - x = 1 \)
Löse nach \( y \)
\( y = \dfrac{x+1}{x} \)
Schritt 4: Verwende die Notation der Umkehrfunktion
\( t^{-1} (x) = \dfrac{x+1}{x}\)
Schritt 5: Überprüfe algebraisch die Antwort
\( t(t^{-1}(x)) = \dfrac {1}{t^{-1}(x) - 1} = \dfrac{1}{\dfrac{x+1}{x} - 1} = \dfrac{x}{x + 1 - x} = x \)
\( t^{-1}(t(x)) = \dfrac{t(x) + 1}{t(x)} = \dfrac{\dfrac{1}{x-1} + 1}{\dfrac{1}{x-1}} = \dfrac{\dfrac{1+x-1}{x-1}}{\dfrac{1}{x-1}} = \dfrac{\dfrac{x}{x-1}}{\dfrac{1}{x-1}} = x \)
Wir können überprüfen, dass die Graphen der Funktion \( t \) und ihrer Umkehrung \( t^{-1} \), unten dargestellt, sich an der Linie \( y = x \) spiegeln und daher Umkehrungen voneinander sind.
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