Was sind Radikale in der Mathematik?

Radikale in der Mathematik werden mit Beispielen und detaillierten Lösungen definiert. Fragen mit ihren Lösungen werden ebenfalls vorgestellt.\( \) \( \)

Potenz von \( n \)

Die folgende Potenzoperation von \( 2 \) (oder Exponent) wird durch das folgende Diagramm dargestellt: Weitere Beispiele für Eingaben und Ausgaben der Potenz-2-Operation
Eingabe = \( 4 \quad , \quad \) Ausgabe = \( 4^2 = 4 \times 4 = 16 \)
Eingabe = \( 10 \quad , \quad \) Ausgabe = \( 10^2 = 10 \times 10 = 100 \)
Das folgende Diagramm stellt die Potenz-3-Operation (oder Exponent) dar. Weitere Beispiele für Eingaben und Ausgaben der Potenz-3-Operation
Eingabe = \( 3 \quad , \quad \) Ausgabe = \( 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
Eingabe = \( 1 \quad , \quad \) Ausgabe = \( 1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1 \)
Eingabe = \( 4 \quad , \quad \) Ausgabe = \( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \)
Allgemeine Potenz von \( n \) \[ a^n = a \times a \times a .... \times a \text{ , n mal} \]

Definition von Radikalen

Radikal mit Index 2 (oder Quadratwurzel) ist die Umkehrung der Potenz 2

Lassen Sie uns nun die Umkehroperation der Potenz-2-Operation darstellen, wie im folgenden Diagramm gezeigt.
Wir vertauschen die Eingabe \( 3 \) und die Ausgabe \( 9 \) der oben gezeigten Potenz-2-Operation, um sie zur Ausgabe \( 3 \) bzw. Eingabe \( 9 \) der Umkehroperation zu machen, wie unten gezeigt. Radikal-mit-Index-2-Operation und wir schreiben: \[ \sqrt[\color\red{\Large 2}]{ 9 } = 3 \text{ weil } 9 = 3^{\color\red{2}} \]
Weitere Beispiele für Eingaben und Ausgaben
Eingabe = \( 16 \quad , \quad \) Ausgabe = \( \sqrt[2]{16} = 4 \quad \text{weil} \quad 4^2 = 16 \)
Eingabe = \( 25 \quad , \quad \) Ausgabe = \( \sqrt[2]{25} = 5 \quad \text{weil} \quad 5^2 = 25 \)
Das Symbol \( \sqrt{ } \) wird Radikal genannt und \( 2 \) ist der Index des Radikals. Die Zahl (oder der Ausdruck) innerhalb des Radikals wird Radikand genannt. Diese Operation heißt Quadratwurzel. Radikal, Radikand und Index
HINWEIS Üblicherweise wird das Symbol für Radikale mit Index 2 (oder Quadratwurzel) ohne den Index \( 2 \) als \( \sqrt{\;\;} \) geschrieben.

Radikale mit Index 3 (oder Kubikwurzel) ist die Umkehrung der Potenz 3

Die Umkehroperation der Potenz-3-Operation, wie im folgenden Diagramm dargestellt, heißt Kubikwurzel. Radikal-mit-Index-3-Operation und wir schreiben: \[ \sqrt[\color\red{\Large 3}]{ 8 } = 2 \text{ weil } 8 = 2^{\color\red{3}}\]
Weitere Beispiele für Eingaben und Ausgaben
Eingabe = \( 27 \) , Ausgabe = \( \sqrt[3]{27} = 3 \) weil \( 3^3 = 27\)
Eingabe = \( 125 \) , Ausgabe = \( \sqrt[3]{125} = 5 \) weil \( 5^3 = 125\)

Im Allgemeinen sind Radikale mit Index \( n \) (oder \(n\)-te Wurzel) die Umkehrung der Potenz \( n \)

Wir verallgemeinern nun und definieren Radikale mit Index \( n \), wobei \( n \) eine ganze Zahl ist.

Wenn \( y = a^n \) , dann ist \( \sqrt[n]{y} = a \) (I)

Weitere Beispiele
\( y = 3^5 = 243 \) , daher ist \( \sqrt[5]{243} = 3 \)
\( y = 10^6 = 1000000 \) , daher ist \( \sqrt[6]{1000000} = 10 \)
\( y = (-2)^3 = -8\) , daher ist \( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
\( y = 1^{20} = 1\) , daher ist \( \sqrt[20]{1} = 1 \) im Allgemeinen \( \sqrt[n]{1} = 1 \) für jede ganze Zahl \( n \)
\( y = 0^9 = 0\) , daher ist \( \sqrt[9]{0} = 0 \) im Allgemeinen \( \sqrt[n]{0} = 0 \) für jede ganze Zahl \( n \)
HINWEIS Die Beziehungen in (I) sind nicht gültig, wenn \( n \) eine GERADE ganze Zahl ist und \( y \) eine NEGATIVE Zahl ist.
a) \( \sqrt{-16} \) ist in den reellen Zahlen UNDEFINIERT, weil es keine reelle Zahl \( x \) gibt, für die \( x^2 = -16 \) gilt, da das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv oder null ist.
b) \( \sqrt[4]{-1} \) ist in den reellen Zahlen UNDEFINIERT, weil es keine reelle Zahl \( x \) gibt, für die \( x^4 = - 1 \) gilt, aus demselben Grund wie oben.

Die Potenz und das entsprechende Radikal heben einander auf

Wir sagen, dass Radikale und die entsprechenden (gleicher Index) Potenzoperationen einander aufheben. Wenn wir die beiden Operationen nacheinander anwenden, ist die Ausgabe gleich der Eingabe, da die beiden Operationen Umkehrungen voneinander sind.
Das Radikal mit Index 2 (oder Quadratwurzel) hebt die Potenz \( 2 \) auf, wie im folgenden Diagramm gezeigt, die Ausgabe ist gleich der Eingabe. Radikal mit Index 2 hebt Potenz 2 auf Das Obige kann geschrieben werden als \[ \sqrt{3^2} = 3 \]
Die Potenz \( 2 \) hebt das Radikal mit Index 2 (oder Quadratwurzel) auf, wie im folgenden Diagramm gezeigt, die Ausgabe ist gleich der Eingabe.
Potenz 2 hebt Radikal mit Index 2 auf
Das Obige kann geschrieben werden als \[ (\sqrt{9})^2 = 9 \]
Beachten Sie, dass das Radikal mit Index \(2 \) als \( \sqrt{\;\;} \) geschrieben wird (d.h. ohne Index).

Weitere Beispiele: \( (\sqrt {12})^2 = 12 \) , \( \sqrt {8^2} = 8 \)
Die Radikale mit Index 3 (oder Kubikwurzel) und die Potenz \( 3 \) heben einander auf.
Beispiele: \( (\sqrt[3]{5})^3 = 5 \) , \( (\sqrt[3]{10})^3 = 10 \)
Im Allgemeinen und für \( a \ge 0 \) können wir schreiben

\( \sqrt[n]{a^n} = a \) , \( (\sqrt[n]{a}\;)^n = a \) (II)

Fragen (mit Lösungen unten)

Verwenden Sie für die folgenden Fragen KEINEN Taschenrechner

Teil 1 - Gegeben ist Folgendes:
\( 2^6 = 64 \) , \( \; 3^5 = 243 \) , \( \; 5^3 = 125 \), \( \; 0^7 = 0 \), \( \; 1^{20} = 1 \), \( \; 2^9 = 512 \), \( \; 5^5 = 3125 \), \( \; 10^5 = 100000 \) , \( \; 0.1^3 = 0.001 \)
Finden Sie die Werte der folgenden Ausdrücke:
\( \sqrt{512} \) , \( \; \sqrt[5]{3125} \) , \( \; \sqrt[5]{243} \) , \( \; \sqrt[6]{64} \) , \( \; \sqrt[3]{0.001} \) , \( \; \sqrt[20]{1} \) , \( \; \sqrt[5]{100000} \) , \( \; \sqrt[7]{0} \) , \( \; \sqrt[3]{125} \)
Teil 2 - Gegeben ist Folgendes:
\( \sqrt{64} = 8 \) , \( \; \sqrt[5]{7776} = 6\) , \( \; \sqrt[3]{1000} = 10 \) , \( \; \sqrt[7]{128} = 2\) , \( \; \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1\) , \( \; \sqrt{10000} = 100\) , \( \; \sqrt[4]{20736} = 12\) , \( \; \sqrt[9]{512} = 2\)
Finden Sie die Werte der folgenden Ausdrücke:
\( 2^7 \) , \( \; 0.1^7 \) , \( \; 6^5 \) , \( \; 8^2 \) , \( \; 2^9 \) , \( \; 12^4 \) , \( \; 10^3 \) , \( \; 100^2 \)
Teil 3 - Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
\( \sqrt{5^2} \) , \( \; (\sqrt[5]{3})^5\) , \( \; \sqrt[3]{10^3} \) , \( \; (\sqrt[7]{128})^7 \)

Lösungen zu den obigen Fragen

Teil 1
Gegeben: \( 2^6 = 64 \) , \( \; 3^5 = 243 \) , \( \; 5^3 = 125 \), \( \; 0^7 = 0 \), \( \; 1^{20} = 1 \), \( \; 2^{9} = 512 \) , \( \; 5^5 = 3125 \), \( \; 10^5 = 100000 \) , \( \; 0.1^3 = 0.001 \)
\( \sqrt{512} = 9 \) weil \( \; 2^9 = 512 \) gegeben ist (denken Sie daran, wir schreiben den Index des Radikals nicht, wenn er gleich \(2 \) ist).
\( \sqrt[5]{3125} = 5\) weil \( 5^5 = 3125 \)
\( \sqrt[5]{243} = 3 \) weil \( 3^5 = 243 \)
\( \sqrt[6]{64} = 2\) weil \( 2^6 = 64 \)
\( \sqrt[3]{0.001} = 0.1\) weil \( 0.1^3 = 0.001 \)
\( \sqrt[20]{1} = 1 \) weil \( 1^{20} = 1 \) und beachten Sie, dass für jedes \( n \gt 0 \) , \( \sqrt[n]{1} = 1 \)
\( \sqrt[5]{100000} = 10 \) weil \( 10^5 = 100000 \)
\( \sqrt[7]{0} = 0 \) weil \( 0^7 = 0 \) und beachten Sie, dass für jedes \( n \gt 0 \) , \( \sqrt[n]{0} = 0 \)
\( \sqrt[3]{125} = 5 \) weil \( 5^3 = 125 \)
Teil 2
Gegeben: \( \sqrt{64} = 8 \) , \( \; \sqrt[5]{7776} = 6\) , \( \; \sqrt[3]{1000} = 10 \) , \( \; \sqrt[7]{128} = 2\) , \( \; \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1\) , \( \; \sqrt{10000} = 100\) , \( \; \sqrt[4]{20736} = 12\) , \( \; \sqrt[9]{512} = 2\)
\( 2^7 = 128 \) weil \( \sqrt[7]{128} = 2 \) gegeben ist
\( 0.1^7 = 0.0000001 \) weil \( \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1\) gegeben ist
\( 6^5 = 7776 \) weil \( \sqrt[5]{7776} = 6\) gegeben ist
\( 8^2 = 64 \) weil \( \sqrt{64} = 8 \) gegeben ist
\(2^9 = 512\) weil \( \sqrt[9]{512} = 2 \) gegeben ist
\( 12^4 = 20736 \) weil \( \sqrt[4]{20736} = 12 \) gegeben ist
\(10^3 = 1000 \) weil \( \sqrt[3]{1000} = 10 \) gegeben ist
\(100^2 = 10000 \) weil \( \sqrt{10000} = 100 \) gegeben ist
Teil 3
\( \sqrt{5^2} = 5 \) weil Quadratwurzel (Radikal mit Index 2) und Potenz von \( 2 \) einander aufheben
\( (\sqrt[5]{3})^5 = 3 \) weil Potenz von \( 5 \) und Radikal mit Index \( 5 \) einander aufheben
\(\sqrt[3]{10^3} = 10 \) weil Kubikwurzel (Radikal mit Index 3) und Potenz von \( 3 \) einander aufheben
\( (\sqrt[7]{128})^7 = 128 \) weil Potenz von \( 7 \) und Radikal mit Index \( 7 \) einander aufheben