Was sind Wurzeln in der Mathematik?

Diese Seite definiert Wurzeln in der Mathematik mit klaren Beispielen und Diagrammen. Sie lernen, wie Wurzeln als Umkehroperationen zu Exponenten fungieren. Am Ende der Seite finden Sie Übungsaufgaben mit detaillierten Schritt-für-Schritt-Lösungen, um Ihr Verständnis zu testen.

Das Verständnis der Potenz von $n$

Um Wurzeln zu verstehen, müssen wir zunächst Potenzen (oder Exponenten) wiederholen. Lassen Sie uns die Operation der Potenz $2$ durch das folgende Diagramm darstellen:

Diagramm zur Darstellung der Operation Potenz 2

Weitere Beispiele für die Operation Potenz $2$:

Ähnlich repräsentiert das folgende Diagramm die Operation Potenz $3$:

Diagramm zur Darstellung der Operation Potenz 3

Weitere Beispiele für die Operation Potenz $3$:

Allgemeine Potenz von $n$:

$$a^n = a \times a \times a \dots \times a \quad \text{(wird } n \text{ Mal multipliziert)}$$

Definition von Wurzeln

1. Wurzel mit Wurzelexponent 2 (Quadratwurzel)

Die Quadratwurzel ist die Umkehroperation zur Potenz $2$. Wir vertauschen Eingabe und Ausgabe. Wenn zum Beispiel die Eingabe $9$ ist, ist die Ausgabe der Umkehroperation $3$.

Diagramm zur Darstellung der Wurzel mit Wurzelexponent 2 (Quadratwurzel)

Wir schreiben dies als:

$$\sqrt[2]{9} = 3 \quad \text{weil} \quad 9 = 3^2$$

Terminologie: Das Symbol $\sqrt{\phantom{x}}$ ist das Wurzelzeichen. Die Zahl $2$ ist der Wurzelexponent. Die Zahl innerhalb der Wurzel ist der Radikand.

Diagramm mit Bezeichnung von Wurzelzeichen, Radikand und Wurzelexponent

Hinweis: Konventionsgemäß wird bei einer Wurzel mit dem Exponenten $2$ die $2$ weggelassen. Wir schreiben einfach $\sqrt{\phantom{x}}$.

2. Wurzel mit Wurzelexponent 3 (Kubikwurzel)

Die Umkehroperation zur Potenz $3$ heißt Kubikwurzel.

Diagramm zur Darstellung der Wurzel mit Wurzelexponent 3 (Kubikwurzel)

Wir schreiben dies als:

$$\sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{weil} \quad 8 = 2^3$$

3. Allgemeine Wurzel mit Wurzelexponent $n$ ($n$-te Wurzel)

Wir können Wurzeln mit jedem Exponenten $n$ verallgemeinern (wobei $n$ eine ganze Zahl größer als 0 ist):

$$\text{Wenn } y = a^n, \text{ dann } \sqrt[n]{y} = a$$

Weitere Beispiele:

WICHTIGE EINSCHRÄNKUNG: Diese Beziehungen sind in den reellen Zahlen NICHT gültig, wenn $n$ eine GERADE ganze Zahl und $y$ NEGATIV ist.

Wurzeln und Potenzen heben sich gegenseitig auf

Wurzeln und Potenzoperationen mit demselben Exponenten heben sich gegenseitig auf. Da sie Umkehroperationen sind, führt die Anwendung beider hintereinander zur ursprünglichen Eingabe zurück.

Beispiel: Die Quadratwurzel macht die Potenz $2$ rückgängig

Diagramm zeigt: Das Ziehen der Quadratwurzel aus einer quadrierten Zahl ergibt die ursprüngliche Zahl

Mathematisch geschrieben: $$\sqrt{3^2} = 3$$

Beispiel: Potenz $2$ macht die Quadratwurzel rückgängig

Diagramm zeigt: Das Quadrieren einer Quadratwurzel ergibt die ursprüngliche Zahl

Mathematisch geschrieben: $$(\sqrt{9})^2 = 9$$

Weitere Beispiele:

Allgemein können wir für $a \ge 0$ schreiben:

$$\sqrt[n]{a^n} = a \quad \text{und} \quad (\sqrt[n]{a})^n = a$$

Übungsaufgaben

Hinweis: Verwenden Sie für die folgenden Aufgaben KEINEN Taschenrechner.

  1. Gegeben sind die folgenden Potenzen:
    $2^6 = 64$, $\; 3^5 = 243$, $\; 5^3 = 125$, $\; 0^7 = 0$, $\; 1^{20} = 1$, $\; 2^9 = 512$, $\; 5^5 = 3125$, $\; 10^5 = 100000$, $\; 0,1^3 = 0,001$

    Finden Sie die exakten Werte der folgenden Wurzeln:
    $\sqrt[9]{512}$, $\; \sqrt[5]{3125}$, $\; \sqrt[5]{243}$, $\; \sqrt[6]{64}$, $\; \sqrt[3]{0,001}$, $\; \sqrt[20]{1}$, $\; \sqrt[5]{100000}$, $\; \sqrt[7]{0}$, $\; \sqrt[3]{125}$
    Lösung anzeigen
    • $\sqrt[9]{512} = \mathbf{2} \quad$ (weil wir $2^9 = 512$ gegeben haben)
    • $\sqrt[5]{3125} = \mathbf{5} \quad$ (weil $5^5 = 3125$)
    • $\sqrt[5]{243} = \mathbf{3} \quad$ (weil $3^5 = 243$)
    • $\sqrt[6]{64} = \mathbf{2} \quad$ (weil $2^6 = 64$)
    • $\sqrt[3]{0,001} = \mathbf{0,1} \quad$ (weil $0,1^3 = 0,001$)
    • $\sqrt[20]{1} = \mathbf{1} \quad$ (weil $1^{20} = 1$. Hinweis: $\sqrt[n]{1} = 1$ für jedes $n > 0$)
    • $\sqrt[5]{100000} = \mathbf{10} \quad$ (weil $10^5 = 100000$)
    • $\sqrt[7]{0} = \mathbf{0} \quad$ (weil $0^7 = 0$. Hinweis: $\sqrt[n]{0} = 0$ für jedes $n > 0$)
    • $\sqrt[3]{125} = \mathbf{5} \quad$ (weil $5^3 = 125$)
  2. Gegeben sind die folgenden Wurzeln:
    $\sqrt{64} = 8$, $\; \sqrt[5]{7776} = 6$, $\; \sqrt[3]{1000} = 10$, $\; \sqrt[7]{128} = 2$, $\; \sqrt[7]{0,0000001} = 0,1$, $\; \sqrt{10000} = 100$, $\; \sqrt[4]{20736} = 12$, $\; \sqrt[9]{512} = 2$

    Finden Sie die Werte der folgenden Potenzen:
    $2^7$, $\; 0,1^7$, $\; 6^5$, $\; 8^2$, $\; 2^9$, $\; 12^4$, $\; 10^3$, $\; 100^2$
    Lösung anzeigen
    • $2^7 = \mathbf{128} \quad$ (weil wir $\sqrt[7]{128} = 2$ gegeben haben)
    • $0,1^7 = \mathbf{0,0000001} \quad$ (weil $\sqrt[7]{0,0000001} = 0,1$)
    • $6^5 = \mathbf{7776} \quad$ (weil $\sqrt[5]{7776} = 6$)
    • $8^2 = \mathbf{64} \quad$ (weil $\sqrt{64} = 8$)
    • $2^9 = \mathbf{512} \quad$ (weil $\sqrt[9]{512} = 2$)
    • $12^4 = \mathbf{20736} \quad$ (weil $\sqrt[4]{20736} = 12$)
    • $10^3 = \mathbf{1000} \quad$ (weil $\sqrt[3]{1000} = 10$)
    • $100^2 = \mathbf{10000} \quad$ (weil $\sqrt{10000} = 100$)
  3. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
    $\sqrt{5^2}$, $\; (\sqrt[5]{3})^5$, $\; \sqrt[3]{10^3}$, $\; (\sqrt[7]{128})^7$
    Lösung anzeigen
    • $\sqrt{5^2} = \mathbf{5} \quad$ (weil die Quadratwurzel und die Potenz $2$ sich gegenseitig aufheben)
    • $(\sqrt[5]{3})^5 = \mathbf{3} \quad$ (weil die Wurzel mit Exponent $5$ und die Potenz $5$ sich gegenseitig aufheben)
    • $\sqrt[3]{10^3} = \mathbf{10} \quad$ (weil die Kubikwurzel und die Potenz $3$ sich gegenseitig aufheben)
    • $(\sqrt[7]{128})^7 = \mathbf{128} \quad$ (weil die Wurzel mit Exponent $7$ und die Potenz $7$ sich gegenseitig aufheben)

Weitere Referenzen zu Wurzeln und Exponenten

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