Nachfolgend finden Sie Aufgaben für die 10. Klasse zum Vereinfachen von Radikalausdrücken. Gehen Sie die Regeln und Eigenschaften von Radikalen durch, versuchen Sie, die Übungsaufgaben zu lösen, und klicken Sie auf die Pfeile, um die Schritt-für-Schritt-Lösungen anzuzeigen.
Um Radikalausdrücke zu vereinfachen, müssen Sie die folgenden Regeln und Eigenschaften von Radikalen kennen.
A) $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ wenn $n$ gerade ist
B) $\sqrt[n]{x^n} = x$ wenn $n$ ungerade ist
Beispiele:
Weitere Beispiele unter Wurzeln reeller Zahlen und Radikale.
Die Produktformel für Radikale mit gleichen Indizes lautet:
Weitere Beispiele zum Multiplizieren von Radikalausdrücken.
Die Divisionsformel für Radikale mit gleichen Indizes lautet:
Weitere Beispiele zum Dividieren von Radikalausdrücken.
Sie können nur gleichartige Radikale addieren oder subtrahieren.
Beispiel:
Weitere Beispiele zum Addieren von Radikalausdrücken.
Sie können Ausdrücke ohne Radikale im Nenner umschreiben (Rationalisieren) unter Verwendung von Identitäten wie:
Weitere Beispiele unter Nenner von Radikalausdrücken rational machen.
Rationalisieren und vereinfachen Sie die gegebenen Ausdrücke:
Vereinfachen: $\sqrt{128} \cdot \sqrt{32}$
Schreiben Sie 128 und 32 als Produkte von Primfaktoren: $128 = 2^7$, $32 = 2^5$.
$$ \sqrt{128} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2^7} \cdot \sqrt{2^5} = \sqrt{2^7 \cdot 2^5} $$
$$ = \sqrt{2^{12}} = \sqrt{(2^6)^2} = |2^6| = 64 $$
Vereinfachen: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12}$
Verwenden Sie die Produktregel, um $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12}$ zu schreiben.
$$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{12} + 3\sqrt{12} $$
$$ = \sqrt{12}(1 + 3) = 4\sqrt{12} $$
$$ = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{4}\sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$
Vereinfachen: $\dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}}$
Zerlegen Sie 14 und 63 in Primfaktoren ($14 = 2 \times 7$, $63 = 3^2 \times 7$) und setzen Sie diese ein:
$$ \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{2 \cdot 7} + 4\sqrt{3^2 \cdot 7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{7} + 4 \cdot 3\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt{7}(3\sqrt{2} + 12)}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2} + 12}{3} = \sqrt{2} + 4 $$
Vereinfachen: $\sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16}$
Zerlegen Sie 32 und 16 in Primfaktoren ($32 = 2^5$, $16 = 2^4$) und setzen Sie diese ein:
$$ \sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^5} \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 2^4} $$
$$ = \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$
Vereinfachen: $\sqrt[3]{\dfrac{64}{7}}$
Schreiben Sie 64 als Produkt von Primzahlen ($64 = 2^6$) und setzen Sie es ein:
$$ \sqrt[3]{\dfrac{64}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{2^6}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{(2^2)^3}{7}} = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} $$
Rationalisieren Sie den Nenner durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit $\left(\sqrt[3]{7}\right)^2$:
$$ = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} \cdot \dfrac{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2} = \dfrac{4\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{7} = \dfrac{4\sqrt[3]{49}}{7} $$
Vereinfachen: $\dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}}$
Zerlegen Sie 54 in Primfaktoren ($54 = 2 \times 3^3$) und setzen Sie diese ein:
$$ \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2 \cdot 3^3 x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2x} \cdot \sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - 3\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{-2\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} = -2\sqrt[3]{\dfrac{2x}{2}} = -2\sqrt[3]{x} $$
Vereinfachen: $\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}$
Multiplizieren Sie Nenner und Zähler mit dem Konjugierten des Nenners:
$$ \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} $$
Ausmultiplizieren und vereinfachen:
$$ = \dfrac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x+1})^2} $$
$$ = \dfrac{x + (x + 1) + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{x - (x + 1)} $$
$$ = \dfrac{2x + 1 + 2\sqrt{x(x+1)}}{-1} $$
$$ = -2x - 1 - 2\sqrt{x(x+1)} $$
Nutzen Sie alle Regeln und Eigenschaften von Radikalen, um die folgenden Ausdrücke zu rationalisieren und zu vereinfachen.
Vereinfachen: $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125}$
$$ \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{3125} = \sqrt[3]{125 \cdot 25} = 5\sqrt[3]{25} $$
Vereinfachen: $(5\sqrt[3]{64})(-3\sqrt[3]{16})$
Vereinfachen Sie zuerst die bekannten Kubikwurzeln ($\sqrt[3]{64} = 4$):
$$ (5 \cdot 4)(-3\sqrt[3]{16}) = 20(-3\sqrt[3]{16}) = -60\sqrt[3]{16} $$
Vereinfachen Sie $\sqrt[3]{16}$ zu $\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$:
$$ -60(2\sqrt[3]{2}) = -120\sqrt[3]{2} $$
Vereinfachen: $(7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10})$
$$ (7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10}) = 14\sqrt{\dfrac{20}{5}} $$
$$ = 14\sqrt{4} = 14 \cdot 2 = 28 $$
Vereinfachen: $\sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}}$
Wandeln Sie die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um:
$$ \sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{64}{27}} = \dfrac{4}{3} $$
Vereinfachen: $(\sqrt{17x})(\sqrt{34x})$
$$ (\sqrt{17x})(\sqrt{34x}) = \sqrt{578x^2} = x\sqrt{578} $$
$$ = x\sqrt{289 \cdot 2} = 17x\sqrt{2} $$
(Unter der Annahme $x \ge 0$, wie vom ursprünglichen Ausdruck gefordert).
Vereinfachen: $\sqrt{4y^2}$
$$ \sqrt{4y^2} = 2|y| $$
Vereinfachen: $\sqrt{8y^4}$
$$ \sqrt{8y^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot (y^2)^2} = 2y^2\sqrt{2} $$
Vereinfachen: $\sqrt{25+144}$
$$ \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 $$
Vereinfachen: $\sqrt[2n]{x^{2n}}$, wobei $n$ eine positive ganze Zahl ist
Da $2n$ einen geraden Index darstellt:
$$ \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| $$
Vereinfachen: $(\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2})$
$$ (\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2}) = 4(x-2) $$
Vereinfachen: $\dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}}$
Fassen Sie die Terme mit der Quotientenregel für Radikale zusammen:
$$ \dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{27a^3b^5}{8a^6b^2}} $$
Vereinfachen Sie den Bruch unter dem Radikal:
$$ = \sqrt[3]{\dfrac{27b^3}{8a^3}} $$
Ziehen Sie die perfekten Kubikwurzeln:
$$ = \dfrac{3b}{2a} $$
Vereinfachen: $\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}}$
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten des Nenners, $\sqrt{x}-\sqrt{x-2}$:
$$ \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}} = \dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-2})^2}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x-2})^2} $$
Multiplizieren Sie den Zähler aus und vereinfachen Sie den Nenner:
$$ = \dfrac{x + (x-2) - 2\sqrt{x(x-2)}}{x - (x-2)} $$
$$ = \dfrac{2x - 2 - 2\sqrt{x(x-2)}}{2} $$
Dividieren Sie alle Terme im Zähler durch 2:
$$ = x - 1 - \sqrt{x(x-2)} $$