상세한 단계별 유도 과정과 삼각치환을 통해 극좌표계를 사용하여 타원의 넓이를 구하는 방법을 알아보세요.
극좌표계에서의 타원 방정식
원점에 중심을 둔 타원 방정식은 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (I) \]직교 좌표계에서 극좌표계로의 변환은 다음과 같습니다:
\[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \]변환 공식을 방정식 (I)에 대입합니다:
\[ \dfrac{r^2 \cos^2 \theta}{a^2} + \dfrac{r^2 \sin^2 \theta}{b^2} = 1 \]위 방정식의 모든 항을 \( \cos^2 \theta \)로 나누고 간소화합니다:
\[ \dfrac{r^2}{a^2} + \dfrac{r^2 \tan^2 \theta}{b^2} = \sec^2 \theta \] \[ r^2 \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{\tan^2 \theta}{b^2} \right) = \sec^2 \theta \] \[ r^2 \left( \dfrac{b^2 + a^2 \tan^2 \theta}{a^2 b^2} \right) = \sec^2 \theta \]\( r^2 \)에 대해 풉니다:
극좌표계에서의 타원의 넓이
곡선으로 둘러싸인 극좌표계에서의 넓이 \( A \)는 다음 공식으로 주어집니다:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} r(\theta)^2 \, d\theta \]위에서 구한 타원의 \( r^2 \)을 넓이 적분식에 대입합니다:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2 + a^2 \tan^2 \theta} \, d\theta \qquad (II) \]분모를 인수분해하고 추가적인 간소화를 위해 \( a \tan \theta \)를 \( b \tan \alpha \)로 변환하는 삼각치환 기법을 사용합니다:
\[ b \tan \alpha = a \tan \theta \qquad (III) \]좌변에 연쇄 법칙을 사용하여 양변을 \( \theta \)에 대해 미분합니다:
\[ b \sec^2 \alpha \dfrac{d\alpha}{d\theta} = a \sec^2 \theta \]다음과 같습니다:
\[ \sec^2 \theta \, d\theta = \dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha \, d\alpha \]또는:
\[ d\theta = \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta} \, d\alpha \qquad (IV) \]적분 구간:
위의 (III)으로부터 \( \alpha = \arctan \left( \dfrac{a}{b} \tan \theta \right) \)로 쓸 수 있습니다.
- \( \theta = 0 \)일 때, \( \alpha = 0 \)
- \( \theta = 2\pi \)일 때, \( \alpha = 2\pi \)
\( d\theta \)와 적분 구간을 적분에 대입합니다:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2 + b^2 \tan^2 \alpha} \left( \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta} \right) \, d\alpha \]분모의 \( b^2 \)을 인수분해하고, 모든 상수를 적분 기호 밖으로 빼낸 뒤 간소화합니다:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{1 + \tan^2 \alpha} \sec^2 \alpha \, d\alpha \]분모에 삼각함수 항등식 \( 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \)를 사용하고 간소화합니다:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \int_0^{2\pi} d\alpha \]적분을 계산합니다:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \left[ \alpha \right]_0^{2\pi} \]간소화하여 타원의 넓이에 대한 최종 공식을 얻습니다: