곡선 사이의 넓이

먼저 두 방정식을 그래프로 나타내고 곡선들로 둘러싸인 영역을 조사합니다.

넓이를 구할 영역은 위쪽으로 곡선 \( y = -x^2 + 6 \)으로, 아래쪽으로는 곡선 \( y = x^2 - 2x + 2 \)로 둘러싸여 있습니다. 영역의 왼쪽 및 오른쪽 끝점은 연립방정식을 풀어 구한 곡선들의 교점입니다:

\[ \begin{cases} y = x^2 - 2x + 2 \\ y = -x^2 + 6 \end{cases} \]

\( y \)를 소거하여 한 변수에 대한 방정식을 얻습니다:

\[ x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 6 \]

표준형으로 정리합니다:

\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies 2(x + 1)(x - 2) = 0 \]

따라서 해는 다음과 같습니다:

\[ x = -1 \quad \text{그리고} \quad x = 2 \]

교점 사이에서 \( -x^2 + 6 \ge x^2 - 2x + 2 \)입니다. \( f(x) = -x^2 + 6 \)과 \( h(x) = x^2 - 2x + 2 \)로 놓고 공식 (1)을 적용합니다:

\[ \begin{aligned} A &= \int_{-1}^{2} \big(f(x) - h(x)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big((-x^2 + 6) - (x^2 - 2x + 2)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big(-2x^2 + 2x + 4\big)\, dx \\ &= \Big[-\tfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\Big]_{-1}^{2} = 9 \end{aligned} \]

결론: 곡선들로 둘러싸인 영역의 넓이는 \( 9 \)입니다.

두 가지 방법을 사용하여 영역을 조사합니다.

방법 1: \( x \)에 대한 적분

\( x = -2 \)부터 \( x = 0 \)까지의 영역은 곡선 \( y = \sqrt{x + 2 \) 아래에 있으므로, 그 넓이 \( A_1 \)은 다음과 같습니다:

\[ \begin{aligned} A_1 &= \int_{-2}^{0} \sqrt{x + 2}\, dx = \left[ \frac{2}{3} (x + 2)^{3/2} \right]_{-2}^{0} = \frac{2}{3} (2^{3/2}) \end{aligned} \]

\( x = 0 \)부터 \( y = \sqrt{x + 2} \)와 \( y = x \)의 교점까지의 영역:

\[ \sqrt{x + 2} = x \implies x + 2 = x^2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x = 2 \]

\( x = 0 \)부터 \( x = 2 \)까지의 넓이 \( A_2 \)는 다음과 같습니다:

\[ \begin{aligned} A_2 &= \int_{0}^{2} \big(\sqrt{x + 2} - x\big)\, dx = \left[ \frac{2}{3}(x + 2)^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 - \frac{2}{3}(2)^{3/2} \end{aligned} \]

총 넓이:

\[ A_1 + A_2 = \dfrac{10}{3} \; \text{unit}^2 \]

방법 2: \( y \)에 대한 적분

\( x \)를 \( y \)에 대한 식으로 표현합니다. 오른쪽 곡선은 \( x = y \), 왼쪽 곡선은 \( x = y^2 - 2 \)입니다. \( y \)의 적분 구간은 \( y = 0 \)부터 \( y = 2 \)까지입니다:

\[ \begin{aligned} \text{Area} &= \int_{0}^{2} \big( y - (y^2 - 2) \big)\, dy = \int_{0}^{2} \left( -y^2 + y + 2 \right)\, dy \\ &= \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{0}^{2} = \frac{10}{3} \; \text{unit}^2 \end{aligned} \]

두 번째 방법이 훨씬 더 빠르다는 점에 주목하세요.

\( \sin(x) = \cos(x) \implies \tan(x) = 1 \)인 교점을 찾습니다. \( 0 \)과 \( 2\pi \) 사이에서 해는 \( x = \pi/4 \)와 \( x = 5\pi/4 \)입니다.

3개의 영역으로 나눕니다:

• 영역 1 (\( 0 \) 부터 \( \pi/4 \)): \( \cos x \ge \sin x \) \[ A_1 = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} - 1 \]
• 영역 2 (\( \pi/4 \) 부터 \( 5\pi/4 \)): \( \sin x \ge \cos x \) \[ A_2 = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x)\, dx = 2\sqrt{2} \]
• 영역 3 (\( 5\pi/4 \) 부터 \( 2\pi \)): \( \cos x \ge \sin x \) \[ A_3 = \int_{5\pi/4}^{2\pi} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} + 1 \]

총 넓이 \( A = A_1 + A_2 + A_3 = 4\sqrt{2} \; \text{unit}^2 \).

\( y = 3x - x^2 \)과 \( y = 0.5x \)의 교점을 찾습니다:

\[ 3x - x^2 = 0.5x \implies 2.5x - x^2 = 0 \implies x(2.5 - x) = 0 \implies x = 0, \; x = 2.5 \]

영역 A의 넓이:

\[ A = \int_{0}^{2.5} (3x - x^2 - 0.5x)\, dx = \int_{0}^{2.5} (2.5x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{2.5x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{2.5} = \dfrac{125}{48} \; \text{units}^2 \]

\( x = 0 \)부터 \( x = 3 \)까지 곡선 \( y = 3x - x^2 \) 아래의 총 넓이:

\[ A_t = \int_{0}^{3} (3x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{3x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{3} = \dfrac{9}{2} \; \text{units}^2 \]

영역 B의 넓이는 \( B = A_t - A \)입니다. 비 \( r = \dfrac{A}{B} = \dfrac{A}{A_t - A} = \dfrac{125/48}{9/2 - 125/48} = \dfrac{125}{91} \)입니다.

두 번째 원의 방정식을 전개합니다: \( x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 \). \( x^2 + y^2 = 4 \)에서 빼면 \( y = 7/4 \)가 됩니다. \( x^2 + y^2 = 4 \)에 대입하면 \( x = \pm\sqrt{15}/4 \)를 얻습니다.

위쪽 곡선은 \( y = \sqrt{4 - x^2} \)이고 아래쪽 곡선은 \( y = 2 - \sqrt{1 - x^2} \)입니다. 대칭성에 의해, \( x = 0 \)부터 \( x = \sqrt{15}/4 \)까지의 넓이의 절반 \( A' \)은 다음과 같습니다:

\[ A' = \int_{0}^{\sqrt{15}/4} \left(\sqrt{4 - x^2} - 2 + \sqrt{1 - x^2}\right) dx \approx 0.70153 \]

총 겹치는 넓이 \( A = 2A' \approx 1.4 \; \text{unit}^2 \).