sin x, cos x 및 지수함수가 포함된 적분

\( u = \sin(x) \) 및 \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \)로 놓으면, \( u' = \cos(x) \)이고 \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \)가 됩니다.

부분적분법을 적용합니다:

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \int \cos(x)e^x \, dx \]

항 \( \displaystyle \int \cos(x)e^x \, dx \)에 부분적분법을 두 번째로 적용합니다:

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \left( \cos(x)e^x - \int (-\sin(x))e^x \, dx \right) \] \[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x - \int \sin(x)e^x \, dx \]

오른쪽에 있는 적분이 원래의 적분과 같으므로, 양쪽에 \( \int \sin(x)e^x \, dx \)를 더하여 결합할 수 있습니다:

\[ 2 \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x \]

2로 나누어 최종 결과를 얻습니다:

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \dfrac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \]

\( u = \cos(2x) \) 및 \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \)로 놓으면, \( u' = -2\sin(2x) \)이고 \( v = e^x \)가 됩니다.

부분적분법을 적용합니다:

\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x - \int e^x (-2\sin(2x)) \, dx \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2 \int e^x \sin(2x) \, dx \end{aligned} \]

새로운 적분 \( \int e^x \sin(2x) \, dx \)에 부분적분법을 적용합니다 (\( w = \sin(2x) \), \( dw/dx = e^x \)로 설정):

\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x + 2 \left( \sin(2x)e^x - 2 \int \cos(2x)e^x \, dx \right) \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2\sin(2x)e^x - 4 \int \cos(2x)e^x \, dx \end{aligned} \]

좌변에 동일한 적분들을 모읍니다:

\[ 5 \int \cos(2x)e^x \, dx = e^x (\cos(2x) + 2\sin(2x)) \]

따라서 적분은 다음과 같습니다:

\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx = \dfrac{1}{5} e^x ( \cos(2x) + 2 \sin(2x) ) + C \]

\( u = \sin(3x + 2) \) 및 \( \dfrac{dv}{dx} = e^{3x} \)로 놓으면, \( u' = 3\cos(3x + 2) \)이고 \( v = \dfrac{1}{3}e^{3x} \)가 됩니다.

부분적분법을 적용합니다:

\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3}\sin(3x + 2)e^{3x} - \int \cos(3x + 2) \left(\dfrac{1}{3}e^{3x}\right) \, dx \]

\( \int \cos(3x + 2) e^{3x} \, dx \)에 부분적분법을 한 번 더 적용합니다:

\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - \left( \dfrac{1}{3}\cos(3x + 2)e^{3x} + \int \sin(3x + 2)e^{3x} \, dx \right) \]

적분들을 정리합니다:

\[ 2 \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} \left( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) \right) \]

2로 나눕니다:

\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{6} e^{3x} ( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) ) + C \]

\( u = \cos(4x) \) 및 \( \dfrac{dv}{dx} = e^{2x + 5} \)로 놓습니다. 부분적분법을 두 번 적용합니다:

\[ \begin{aligned} \int \cos(4x)e^{2x + 5} \, dx &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \int e^{2x + 5} \sin(4x) \, dx \\[6pt] &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \left( \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \sin(4x) - 2 \int e^{2x + 5} \cos(4x) \, dx \right) \end{aligned} \]

간단히 정리하고 항을 모읍니다:

\[ 5 \int \cos(4x) e^{2x+5} \, dx = \dfrac{1}{2} e^{2x+5} \cos(4x) + e^{2x+5} \sin(4x) \]

5로 나누어 최종 해답을 얻습니다:

\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \dfrac{1}{10} e^{2x + 5} ( \cos(4x) + 2 \sin(4x) ) + C \]