미적분을 사용하여 구의 캡의 부피는 어떻게 구하나요?

구의 캡의 부피는 정적분과 디스크법을 사용하여 x = R - h부터 x = R까지 곡선 y = sqrt(R^2 - x^2)을 x축 주위로 회전시켜 구하며, 공식 V = (pi / 3)(3Rh^2 - h^3)이 도출됩니다.

구의 캡(구면 캡)의 부피 – 공식, 유도 및 미적분

구의 캡의 부피는 적분과 "회전체의 부피"에 사용되는 디스크법을 사용하여 구합니다.

구의 캡(구면 캡)은 평면에 의해 잘려 나간 구의 일부분으로 정의됩니다.

spherical cap as portion of a sphere

반지름이 \( R \)이고 높이가 \( h \)인 구의 캡을 고려해 봅시다. 구의 캡은 반원인 \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \)의 곡선을 범위 \( R - h \le x \le R \)에서 x축 주위로 회전시켜 생성할 수 있습니다.

spherical cap in 2D

너비가 \( dx \)이고 반지름이 \( y \)인 작은 디스크(파선으로 표시됨)를 생각해 보세요. 디스크의 부피는 \( \pi y^2 \, dx \)로 주어지며, 따라서 범위 \( [R - h, R] \)에서의 x에 대한 적분은 캡의 총 부피를 제공합니다:

\[ \text{Volume} = \int_{R-h}^{R} \pi y^2 \, dx \]

\( y = \sqrt{R^2 - x^2} \)이므로 부피 적분은 다음과 같이 됩니다:

\[ \text{Volume} = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2) \, dx \]

적분을 계산합니다:

\[ \text{Volume} = \pi \left[ R^2 x - \dfrac{1}{3}x^3 \right]_{R-h}^{R} \]

위끝과 아래끝을 대입합니다:

\[ \text{Volume} = \pi \left\{ \left( R^3 - \dfrac{1}{3}R^3 \right) - \left( R^2(R - h) - \dfrac{1}{3}(R - h)^3 \right) \right\} \]

위의 대수식을 정리하면 최종 부피 공식이 얻어집니다:

\[ \Large \displaystyle \color{red}{\text{Volume} = \dfrac{\pi}{3}(3Rh^2 - h^3)} \]