미적분에서 함수의 극한 구하기

우리는 1의 좌측에서 \( x \)가 1에 가까워질 때의 극한을 구하고 있음에 유의하십시오(\( x \to 1^- \)은 \( x \)가 1보다 작은 값으로 1에 접근함을 의미합니다). 따라서:

\[ x < 1 \] \[ x - 1 < 0 \]

만약 \( x - 1 < 0 \)이면:

\[ |x - 1| = -(x - 1) \]

분자를 인수분해하고 약분하여 정리합니다:

\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} \] \[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]

최종 정답은 다음과 같습니다:

\[ \boxed{-4} \]

문제의 극한은 두 다항식의 비이지만, \( x = 5 \)는 분자와 분모를 모두 0으로 만듭니다. 아래와 같이 분자와 분모를 모두 인수분해해야 합니다.

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(x + 6)} \]

약분하여 정리합니다:

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30} = \lim_{x \to 5} \dfrac{x + 5}{x + 6} = \dfrac{10}{11} \]

최종 정답은 다음과 같습니다:

\[ \boxed{\dfrac{10}{11}} \]

2의 좌극한과 2의 우극한을 살펴보아야 합니다.

\( x \)가 2의 왼쪽에서 접근할 때(\( x \to 2^- \)), \( x - 2 < 0 \)이므로:

\[ |x - 2| = -(x - 2) \]

대입하여 다음과 같이 2의 좌극한을 구합니다:

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{-(x - 2)} \]

분자 \( x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \)을 인수분해합니다:

\[ = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{-(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} -(x + 6) = -8 \]

\( x \)가 2의 오른쪽에서 접근할 때(\( x \to 2^+ \)), \( x - 2 > 0 \)이므로:

\[ |x - 2| = x - 2 \]

대입하여 다음과 같이 2의 우극한을 구합니다:

\[ \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} (x + 6) = 8 \]

2의 우극한(8)과 2의 좌극한(-8)이 서로 같지 않으므로, 주어진 양방향 극한은 존재하지 않습니다.

\( x \)가 오른쪽에서 -1에 가까워질 때, \( \sqrt[3]{x+1} \)은 0에 가까워지고 \( \ln(x+1) \)은 \( -\infty \)에 가까워지므로 \( 0 \times (-\infty) \) 부정형이 됩니다.

\[ \lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1) = 0 \cdot (-\infty) \]

\( \dfrac{\infty}{\infty} \) 부정형이 되도록 극한을 다시 작성해 봅시다.

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^{-1/3}} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]

이제 로피탈의 정리를 사용하여 극한을 구합니다.

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{d}{dx}[\ln(x+1)]}{\dfrac{d}{dx}[(x+1)^{-1/3}]} = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{-\dfrac{1}{3}(x+1)^{-4/3}} \] \[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x+1} \cdot \left( -\dfrac{3}{(x+1)^{-4/3}} \right) = \lim_{x \to -1^+} -3 (x+1)^{1/3} = 0 \]

따라서 극한값은 0입니다.

\[ \boxed{0} \]

\( x \)가 커질수록 \( x + 1 \)이 커지고, \( \dfrac{1}{x+1} \)은 0에 가까워지며, \( e^{1/(x+1)} \)은 1에 가까워지고, \( e^{1/(x+1)} - 1 \)은 0에 가까워집니다. 따라서 \( \infty \times 0 \) 부정형이 됩니다.

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -\infty \cdot 0 \]

\( \dfrac{0}{0} \) 부정형이 되도록 극한을 다시 작성해 봅시다:

\[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{0}{0} \]

로피탈의 정리를 적용하여 극한을 구합니다:

\[ \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = -\lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right)}{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)} \] \[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)e^{\dfrac{1}{x+1}}}{-\dfrac{1}{(x+1)^2}} = \lim_{x \to \infty} -e^{\dfrac{1}{x+1}} = -1 \]

따라서:

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -1 \]

\( x \)가 9에 가까워질 때 분자와 분모 모두 0에 가까워집니다. 분자와 분모에 모두 분자의 켤레를 곱합니다:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} \]

전개하고 정리합니다:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} \]

이제 직접 대입하여 극한을 구합니다:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{6} \]

코사인 함수의 치역은 다음과 같습니다:

\[ -1 \le \cos x \le 1 \]

\( x > 0 \)일 때 위 부등식의 모든 항을 \( x \)로 나눕니다:

\[ -\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le \dfrac{1}{x} \]

이제 \( x \to +\infty \)일 때 \( -\dfrac{1}{x} \)와 \( \dfrac{1}{x} \) 모두 0에 가까워집니다. 따라서 조임 정리에 의해 극한은 다음과 같습니다:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x} = 0 \]

\( t \)가 0에 가까워질 때 분자와 분모 모두 0에 가까워지며 \( 0 / 0 \) 부정형이 됩니다.

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \dfrac{0}{0} \]

따라서 다음과 같이 로피탈의 정리를 사용하여 위 극한을 계산합니다:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{d}{dt}(\sin t - t)}{\dfrac{d}{dt}(\tan t)} \] \[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\cos t - 1}{\sec^2 t} = \dfrac{0}{1} = 0 \]

먼저 분모의 제곱근 안에서 \( 16x^2 \)를 묶어내고, 제곱근 밖으로 빼낸 뒤 극한을 다시 작성합니다:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4|x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} \]

\( x \)가 더 큰 양의 값(무한대)으로 접근하므로 \( |x| = x \)이고 \( \dfrac{1}{16x^2} \)은 0에 가까워집니다. 정리하고 극한을 구합니다:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4x \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} = \dfrac{3}{4} \]

\( x \)가 왼쪽에서 2에 가까워지면 \( x - 2 \)는 왼쪽에서 0에 가까워지거나 \( x - 2 < 0 \)입니다. 분자는 5에 가까워지고 분모는 왼쪽에서 0에 가까워지므로 극한은 다음과 같습니다:

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2} = -\infty \]

분모에서 \( x^2 \)를 묶어내고 약분합니다:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{x^2\left(4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)} \]

\( x \)가 큰 값(무한대)을 가질 때, \( \dfrac{2}{x} \)와 \( \dfrac{1}{x^2} \) 항은 0에 가까워집니다. 따라서 극한은 다음과 같습니다:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2} = \dfrac{3}{4} \]

분자와 분모에 \( t \)를 곱합니다:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{t} \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

대수적 조작을 사용하여 식을 다시 씁니다:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot \dfrac{3t}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot 3 \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

알려진 극한 \( \lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1 \)을 사용합니다. \( u = 3t \)라 하면 \( t \to 0 \)일 때 \( u \to 0 \)입니다:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} = 1 \]

또한:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\sin(t)} = 1 \]

따라서 극한값은 다음과 같습니다:

\[ = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3 \]

제곱근 안에서 \( x^2 \)를 묶어냅니다:

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)} - x \right) \]

\( \sqrt{x^2} = |x| \) 성질을 이용합니다:

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( |x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) \]

\( x \)가 큰 양의 값(무한대)을 가지므로 \( |x| = x \)이고 \( \dfrac{1}{x} \)과 \( \dfrac{1}{x^2} \)은 모두 0에 가까워집니다. 따라서 \( \infty - \infty \) 부정형이 됩니다:

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( x \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \infty - \infty \]

주어진 극한으로 다시 돌아가서 분자와 분모에 켤레를 곱하고 정리합니다:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) \left( \sqrt{x^2 + x + 1} + x \right) }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \] \[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x^2 + x + 1 - x^2 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x + 1 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \]

분자와 분모에서 \( x \)를 묶어내고 약분합니다:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) }{ x \left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 \right) } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{x} }{ \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 } \]

\( x \)가 커질수록 \( \dfrac{1}{x} \)와 \( \dfrac{1}{x^2} \) 항은 0에 가까워지며 극한은 다음과 같이 계산됩니다:

\[ = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} \]

\( z = 1 / x \)라 하면 \( x \)가 커질 때 \( z \)는 0에 가까워집니다. 대입하여 다음과 같이 극한을 계산합니다:

\[ = \lim_{z \to 0} \dfrac{\sin z}{z} = 1 \]

\[ 3 \]

\[ 1 \]

\[ 1 \]

\[ \dfrac{1}{4} \]

\[ 0 \]

\[ 4 \]