삼각함수의 극한 계산

분자와 분모에 \( 1 + \cos x \)를 곱하고 다음과 같이 씁니다:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} \cdot \dfrac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \]

분자는 \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \)가 되므로 다음과 같습니다:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos x} \]

극한은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \right) = (1) \left(\dfrac{0}{2}\right) = 0 \]

정리 \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \)을 사용했습니다.

\( t = 4x \)라 합니다. \( x \)가 0에 가까워질 때 \( t \)도 0에 가까워지므로:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \]

이제 정리 \( \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \)을 사용하여 극한을 구합니다:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \]

\( t = 6x \), 또는 \( x = t / 6 \)이라 합니다. \( x \)가 0에 가까워질 때 \( t \)도 0에 가까워지므로:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6x}{5x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{5t/6} \] \[ = \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{6}{5}\right) \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \cdot 1 = \dfrac{6}{5} \]

두 함수의 몫의 극한 정리를 적용하면 부정형 \( \dfrac{0}{0} \)이 나오게 됩니다. 다른 방법을 찾아야 합니다. \( x = -3 \)일 때 분모가 0이 되므로 인수분해할 수 있습니다. 따라서:

\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 + 7x + 12} = \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{(x + 3)(x + 4)} \]

\( t = x + 3 \), 또는 \( x = t - 3 \)이라 합니다. \( x \)가 \( -3 \)에 가까워질 때 \( t \)는 0에 가까워집니다:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t(t + 1)} \]

이제 두 함수의 곱의 극한 정리를 적용합니다:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t + 1} \] \[ = 1 \cdot 1 = 1 \]

\( x \)가 왼쪽에서 0에 가까워질 때와 오른쪽에서 0에 가까워질 때의 극한을 각각 구합니다. \( x < 0 \)일 때 \( |x| = -x \)입니다:

\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin(-x)}{x} = -\lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} = -1 \]

\( x > 0 \)일 때 \( |x| = x \)입니다:

\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]

좌극한과 우극한의 값이 다르므로, 위 극한은 존재하지 않습니다:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \quad \text{존재하지 않음} \]

먼저 삼각항등식 \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \)를 사용합니다:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{\dfrac{\sin x}{x}} \]

이제 몫의 극한 정리를 사용합니다:

\[ = \dfrac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)} = \dfrac{1}{1} = 1 \]

먼저 삼각항등식 \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \)를 사용합니다:

\[ \lim_{x \to 0} x \csc x = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}} \]

몫의 극한 정리를 사용합니다:

\[ = \dfrac{1}{1} = 1 \]