La demostración de las fórmulas del seno y coseno de la suma de ángulos, utilizando la fórmula de Euler, se presenta a continuación.
La fórmula de Euler está dada por \[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \qquad (1) \] donde \( x \) es un número real y \( i = \sqrt{-1} \) es la unidad imaginaria.
Usando la fórmula de Euler con el argumento \( x + y \), escribimos \[ \displaystyle e^{i(x+y)} = \cos (x + y) + i \sin (x + y) \qquad (2) \] Usando propiedades de las funciones exponenciales, escribimos \[ e^{i(x+y)} = e^{ix} e^{iy} \qquad (3) \] Los lados izquierdos de \( (2) \) y \( (3) \) son iguales, por lo tanto escribimos \[ \cos (x + y) + i \sin (x + y) = e^{ix} e^{iy} \qquad (4) \] Usando la fórmula de Euler para los términos de la derecha de \( (4) \), obtenemos \[ \cos (x + y) + i \sin (x + y) = (\cos x + i \sin x)(\cos y + i \sin y) \qquad (5) \] Expandimos el término derecho de \( (5) \) usando el hecho de que \( i^2 = -1 \), para obtener \[ \cos (x + y) + i \sin (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y + i (\sin x \cos y + \cos x \sin y) \qquad (6) \] Las expresiones de la izquierda y la derecha de \( (6) \) son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales; de ahí se obtienen las fórmulas del seno y coseno de la suma de ángulos \[ \cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \] y \[ \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \]