Derivadas de las Funciones Trigonométricas

Fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas sen(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) y csc(x), en cálculo, se presentan junto con varios ejemplos que involucran productos, sumas y cocientes de funciones trigonométricas.

Fórmulas para las Derivadas de las Funciones Trigonométricas

1 - Derivada de sen x

2 - Derivada de cos x

3 - Derivada de tan x

4 - Derivada de cot x

5 - Derivada de sec x

6 - Derivada de csc x

Ejemplos Usando las Derivadas de las Funciones Trigonométricas

Ejemplo 1

• Sea \( g(x) = x \) y \( h(x) = \sin x \), la función \( f \) puede considerarse como el producto de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) h(x) \). Por lo tanto, usamos la regla del producto, \( f '(x) = g(x) h '(x) + h(x) g '(x) \), para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera \[ f '(x) = x \cos x + \sin x \cdot 1 = x \cos x + \sin x \]

Ejemplo 2

• Sea \( g(x) = \tan x \) y \( h(x) = \sec x \), la función \( f \) puede considerarse como la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Por lo tanto, usamos la regla de la suma, \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera \[ f '(x) = \sec^{2} x + \sec x \tan x = \sec x (\sec x + \tan x) \]

Ejemplo 3

• Sea \( g(x) = \sin x \) y \( h(x) = 1 + \cos x \), la función \( f \) puede considerarse como el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, usamos la regla del cociente, \[ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{h(x)^{2}} \], para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera \[ g '(x) = \cos x \] \[ h '(x) = - \sin x \] \[ f '(x) = \dfrac{(1 + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(- \sin x)}{(1 + \cos x)^{2}} \] \[ = \dfrac{\cos x + \cos^{2} x + \sin^{2} x}{(1 + \cos x)^{2}} \]
• Usa la identidad trigonométrica \( \cos^{2} x + \sin^{2} x = 1 \) para simplificar lo anterior \[ f '(x) = \dfrac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^{2}} = \dfrac{1}{\cos x + 1} \]

Más Enlaces y Referencias