Derivadas de las funciones trigonométricas

Fórmulas, reglas, ejemplos resueltos paso a paso con productos y cocientes

Se presentan las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) y csc(x) en cálculo, junto con varios ejemplos que involucran productos, sumas y cocientes de funciones trigonométricas.

Fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas

1. Derivada de \( \sin x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
2. Derivada de \( \cos x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
3. Derivada de \( \tan x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \]
4. Derivada de \( \cot x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \]
5. Derivada de \( \sec x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \]
6. Derivada de \( \csc x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \]

Ejemplos que utilizan las derivadas de las funciones trigonométricas

Ejemplo 1

Encuentra la primera derivada de \( f(x) = x \sin x \)

Solución al Ejemplo 1

Sea \( g(x) = x \) y \( h(x) = \sin x \). La función \( f \) puede considerarse como el producto de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x)h(x) \). Por lo tanto, utilizamos la regla del producto, \( f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) \), para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera:

\[ f'(x) = x \cos x + \sin x \cdot 1 = x \cos x + \sin x \]

Ejemplo 2

Encuentra la primera derivada de:

\[ f(x) = \tan x + \sec x \]
Solución al Ejemplo 2

Sea \( g(x) = \tan x \) y \( h(x) = \sec x \). La función \( f \) puede considerarse como la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Por lo tanto, utilizamos la regla de la suma, \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \), para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera:

\[ f'(x) = \sec^2 x + \sec x \tan x = \sec x (\sec x + \tan x) \]

Ejemplo 3

Encuentra la primera derivada de:

\[ f(x) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \]
Solución al Ejemplo 3

Sea \( g(x) = \sin x \) y \( h(x) = 1 + \cos x \). La función \( f \) puede considerarse como el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, utilizamos la regla del cociente:

\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]

Encontramos las derivadas individuales:

\[ g'(x) = \cos x \] \[ h'(x) = -\sin x \]

Sustituimos en la fórmula de la regla del cociente:

\[ f'(x) = \dfrac{(1 + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} \] \[ = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} \]

Utilizamos la identidad trigonométrica \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) para simplificar:

\[ f'(x) = \dfrac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \dfrac{1}{\cos x + 1} \]

Más enlaces y referencias