Integrales que involucran sin x, cos x y funciones exponenciales

Sea \( u = \sin(x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), lo que da \( u' = \cos(x) \) y \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \).

Utilizando la integración por partes:

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \int \cos(x)e^x \, dx \]

Aplica la integración por partes por segunda vez al término \( \displaystyle \int \cos(x)e^x \, dx \):

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \left( \cos(x)e^x - \int (-\sin(x))e^x \, dx \right) \] \[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x - \int \sin(x)e^x \, dx \]

Dado que la integral de la derecha es la misma que la integral original, podemos combinarlas sumando \( \int \sin(x)e^x \, dx \) a ambos lados:

\[ 2 \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x \]

Dividiendo por 2 se obtiene el resultado final:

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \dfrac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \]

Sea \( u = \cos(2x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), lo que da \( u' = -2\sin(2x) \) y \( v = e^x \).

Aplica la integración por partes:

\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x - \int e^x (-2\sin(2x)) \, dx \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2 \int e^x \sin(2x) \, dx \end{aligned} \]

Aplica la integración por partes a la nueva integral \( \int e^x \sin(2x) \, dx \) (haciendo \( w = \sin(2x) \) y \( dw/dx = e^x \)):

\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x + 2 \left( \sin(2x)e^x - 2 \int \cos(2x)e^x \, dx \right) \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2\sin(2x)e^x - 4 \int \cos(2x)e^x \, dx \end{aligned} \]

Agrupando las integrales idénticas en el lado izquierdo:

\[ 5 \int \cos(2x)e^x \, dx = e^x (\cos(2x) + 2\sin(2x)) \]

Por lo tanto, la integral es:

\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx = \dfrac{1}{5} e^x ( \cos(2x) + 2 \sin(2x) ) + C \]

Sea \( u = \sin(3x + 2) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^{3x} \), lo que da \( u' = 3\cos(3x + 2) \) y \( v = \dfrac{1}{3}e^{3x} \).

Aplica la integración por partes:

\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3}\sin(3x + 2)e^{3x} - \int \cos(3x + 2) \left(\dfrac{1}{3}e^{3x}\right) \, dx \]

Aplica la integración por partes una vez más a \( \int \cos(3x + 2) e^{3x} \, dx \):

\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - \left( \dfrac{1}{3}\cos(3x + 2)e^{3x} + \int \sin(3x + 2)e^{3x} \, dx \right) \]

Agrupando las integrales:

\[ 2 \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} \left( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) \right) \]

Dividiendo por 2:

\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{6} e^{3x} ( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) ) + C \]

Sea \( u = \cos(4x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^{2x + 5} \). Aplicando la integración por partes dos veces:

\[ \begin{aligned} \int \cos(4x)e^{2x + 5} \, dx &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \int e^{2x + 5} \sin(4x) \, dx \\[6pt] &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \left( \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \sin(4x) - 2 \int e^{2x + 5} \cos(4x) \, dx \right) \end{aligned} \]

Simplificando y agrupando términos:

\[ 5 \int \cos(4x) e^{2x+5} \, dx = \dfrac{1}{2} e^{2x+5} \cos(4x) + e^{2x+5} \sin(4x) \]

Dividiendo por 5 se obtiene la solución final:

\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \dfrac{1}{10} e^{2x + 5} ( \cos(4x) + 2 \sin(4x) ) + C \]