El teorema del valor medio es uno de los teoremas más importantes en cálculo. Aquí se discute a través de ejemplos y gráficas. Una vez que termines con este tutorial, es posible que quieras resolver problemas relacionados con el teorema del valor medio.
Teorema del Valor Medio
Sea \( f(x) \) una función continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en
el intervalo abierto (a, b). Entonces hay al menos un valor c de x en el intervalo (a, b) tal que
\[ f '(c) = \dfrac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} \] o \[ f(b) - f(a) = f '(c) (b - a) \]
En otras palabras, la recta tangente a la gráfica de f en c y la secante
a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) tienen pendientes iguales y, por lo tanto, son paralelas.
Figura 1. Significado Gráfico del Teorema del Valor Medio
Ejemplos de Aplicaciones del Teorema del Valor Medio
Ejemplo 1
Utiliza el teorema del valor medio para encontrar el valor c de x en el intervalo \( [1 , 5] \) tal que la tangente en el punto \( (c , f(c)) \) a la curva \( f(x) = -x^2 + 7x - 6 \) sea paralela a la secante que pasa por los puntos \( (1 , f(1)) \) y \( (5 , f(5)) \).
Solución al Ejemplo 1
La pendiente de la tangente en el punto \( (c , f(c)) \) está dada por
\[ f'(c) \]
donde \( f' \) es la primera derivada.
La pendiente de la secante a través de \( (1 , f(1)) \) y \( (5 , f(5)) \) está dada por
\[ \dfrac{{f(5) - f(1)}}{{5 - 1}} \]
Para que la tangente sea paralela a la secante, sus pendientes deben ser iguales, por lo tanto
\[ f '(c) = \dfrac{{f(5) - f(1)}}{{5 - 1}} \]
La función \( f \) es una función polinómica (cuadrática) y, por lo tanto, es continua y diferenciable en el intervalo \( [1 , 5] \); de ahí que el teorema del valor medio predice que hay al menos un valor de \( x (= c) \) tal que la igualdad anterior es verdadera.
La pendiente de la tangente está dada por el valor de la primera derivada en \( x = c \).
La primera derivada: \( f ' (x) = - 2x + 7 \)
la pendiente \( m_1 \) de la tangente a la curva en x = c es igual a \[ m_1 = f'(c) = - 2c + 7 \]
La pendiente \( m_2 \) de la secante a través de los puntos \( (1 , f(1)) \) y \( (5 , f(5)) \) está dada por
\[ m_2 = \dfrac{{f(5) - f(1)}}{{5 - 1}} = \dfrac{{4 - 0}}{4} = 1 \]
\( m_1 = m_2 \) da la ecuación
\[ - 2c + 7 = 1 \]
\[ c = 3 \]
Verificar respuesta gráficamente
El punto de tangencia en \( x = c \) está dado por \( (3 , f(3)) = (3 , 6) \)
Ecuación de la tangente:
\[ y - 6 = (x - 3) \]
\[ y = x + 3 \]
En la figura 1 a continuación se muestran las gráficas de la función dada y la gráfica de la tangente a la curva de \( f \). La tangente y la secante tienen pendientes iguales y, por lo tanto, son paralelas.
Figura 2. Teorema del Valor Medio usado en el ejemplo 1
Puede haber más de un valor de \( x ( = c) \) que satisfaga el teorema del valor medio, ver el ejemplo 2 a continuación.
Ejemplo 2
Utiliza el teorema del valor medio para encontrar todos los valores de x en el intervalo \( [0 , 3] \) tales que la tangente en los puntos \( (c , f(c)) \) a la curva \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + 1 \) sea paralela a la secante a través de los puntos \( (0 , f(0)) \) y \( (3 , f(3)) \).
Solución al Ejemplo 2
La función f es una función polinómica y, por lo tanto, es continua y diferenciable en el intervalo [1 , 3]; por consiguiente, el teorema del valor medio predice que hay al menos un valor de x ( = c) tal que la tangente a la curva de f en x = c y la secante son paralelas y, por ende, sus pendientes son iguales.
Pendiente de la tangente
La primera derivada: \( f ' (x) = 3x^2 - 10x + 7 \)
La pendiente \( m_1 \) de la tangente en x = c es igual a \( m_1 = f ' (c) = 3c^2 - 10c + 7 \)
La pendiente \( m_2 \) de la secante a través de los puntos \( (0 , f(0)) \) y \( (3 , f(3)) \)
\[ m_2 = \dfrac{{f(3) - f(0)}}{{3 - 0}} = \dfrac{{4 - 1}}{3} = 1 \]
Para que la tangente a la curva en x = c y la secante a través de (0 , f(0)) y (3 , f(3)) sean paralelas, sus pendientes deben ser iguales.
\[ 3c^2 - 10c + 7 = 1 \]
que puede escribirse como
\[ 3c^2 - 10c + 6 = 0 \]
Resolviendo usando la fórmula cuadrática se obtienen dos soluciones
\[ c_1 = \dfrac{{5 - \sqrt{7}}}{3} \approx 0.78 \] y \( c_2 = \dfrac{{5 + \sqrt{7}}}{3} \approx 2.55 \)
Verificar respuesta gráficamente
En la figura 2 a continuación se muestran las gráficas de la función dada y la gráfica de las dos tangentes a la curva de f paralelas a la secante a través de los puntos \( A(0 , f(0)) \) y \( B(3 , f(3))\).
Figura 3. Teorema del Valor Medio usado en el ejemplo 2
