El teorema del valor medio es uno de los teoremas más importantes en cálculo. Se analiza aquí a través de ejemplos y gráficos. Una vez que termines este tutorial, es posible que quieras resolver problemas relacionados con el teorema del valor medio.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Teorema del valor medio
Sea \( f(x) \) una función continua en el intervalo cerrado \( [a, b] \) y derivable en el intervalo abierto \( (a, b) \). Entonces existe al menos un valor \( c \) de \( x \) en el intervalo \( (a, b) \) tal que:
\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]o
\[ f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) \]En otras palabras, la recta tangente a la gráfica de \( f \) en \( c \) y la recta secante que pasa por los puntos \( (a, f(a)) \) y \( (b, f(b)) \) tienen pendientes iguales y, por lo tanto, son paralelas.
Ejemplos sobre las aplicaciones del teorema del valor medio
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
Utiliza el teorema del valor medio para hallar el valor \( c \) de \( x \) en el intervalo \( [1, 5] \) tal que la recta tangente en el punto \( (c, f(c)) \) a la curva \( f(x) = -x^2 + 7x - 6 \) sea paralela a la recta secante que pasa por los puntos \( (1, f(1)) \) y \( (5, f(5)) \).
Mostrar solución al ejemplo 1
La pendiente de la recta tangente en el punto \( (c, f(c)) \) está dada por:
\[ f'(c) \]donde \( f' \) es la primera derivada. La pendiente de la recta secante que pasa por \( (1, f(1)) \) y \( (5, f(5)) \) está dada por:
\[ \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]Para que la tangente sea paralela a la secante, sus pendientes deben ser iguales, por lo tanto:
\[ f'(c) = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]La función \( f \) es una función polinómica (cuadrática) y, por lo tanto, es continua y derivable en el intervalo \( [1, 5] \), de modo que el teorema del valor medio predice que existe al menos un valor de \( x (= c) \) tal que la igualdad anterior es verdadera.
La primera derivada es:
\[ f'(x) = -2x + 7 \]La pendiente \( m_1 \) de la tangente a la curva en \( x = c \) es:
\[ m_1 = f'(c) = -2c + 7 \]La pendiente \( m_2 \) de la secante que pasa por los puntos \( (1, f(1)) \) y \( (5, f(5)) \) es:
\[ m_2 = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \dfrac{4 - 0}{4} = 1 \]Igualando \( m_1 = m_2 \) se obtiene la ecuación:
\[ -2c + 7 = 1 \implies -2c = -6 \implies c = 3 \]Comprueba la respuesta gráficamente:
El punto de tangencia en \( x = c \) está dado por \( (3, f(3)) = (3, 6) \).
Ecuación de la tangente:
\[ y - 6 = 1(x - 3) \implies y = x + 3 \]En la Figura 2 a continuación se muestran las gráficas de la función dada y la gráfica de la recta tangente a la curva de \( f \). La tangente y la secante tienen pendientes iguales y, por lo tanto, son paralelas.
Nota: Puede haber más de un valor de \( x (= c) \) que satisfaga el teorema del valor medio, como se ve en el Ejemplo 2 a continuación.
Ejemplo 2
Utiliza el teorema del valor medio para hallar todos los valores de \( x \) en el intervalo \( [0, 3] \) tales que la recta tangente en los puntos \( (c, f(c)) \) a la curva \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + 1 \) sea paralela a la recta secante que pasa por los puntos \( (0, f(0)) \) y \( (3, f(3)) \).
Mostrar solución al ejemplo 2
La función \( f \) es una función polinómica y, por lo tanto, es continua y derivable en el intervalo \( [0, 3] \), de modo que el teorema del valor medio predice que existe al menos un valor de \( x (= c) \) tal que la recta tangente a la curva de \( f \) en \( x = c \) y la recta secante son paralelas y sus pendientes son iguales.
La primera derivada es:
\[ f'(x) = 3x^2 - 10x + 7 \]La pendiente \( m_1 \) de la tangente en \( x = c \) es:
\[ m_1 = f'(c) = 3c^2 - 10c + 7 \]La pendiente \( m_2 \) de la secante que pasa por los puntos \( (0, f(0)) \) y \( (3, f(3)) \) es:
\[ m_2 = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{4 - 1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1 \]Para que la tangente a la curva en \( x = c \) y la secante que pasa por \( (0, f(0)) \) y \( (3, f(3)) \) sean paralelas, sus pendientes deben ser iguales:
\[ 3c^2 - 10c + 7 = 1 \]Lo cual se puede escribir como:
\[ 3c^2 - 10c + 6 = 0 \]Resuelve usando la fórmula cuadrática para obtener dos soluciones:
\[ c = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(6)}}{2(3)} = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 - 72}}{6} = \dfrac{10 \pm \sqrt{28}}{6} = \dfrac{10 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \dfrac{5 \pm \sqrt{7}}{3} \]Calculando las aproximaciones decimales:
\[ c_1 = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{3} \approx 0.78 \quad \text{y} \quad c_2 = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{3} \approx 2.55 \]Comprueba la respuesta gráficamente:
En la Figura 3 a continuación se muestran las gráficas de la función dada y la gráfica de las dos tangentes a la curva de \( f \) paralelas a la secante que pasa por los puntos \( A(0, f(0)) \) y \( B(3, f(3)) \).
