La derivada de \( \cot(x) \) se puede calcular usando las derivadas de \( \sin x \) y \( \cos x \) con la regla del cociente. También se presentan las derivadas de funciones cotangente compuestas con ejemplos resueltos.
Demostración de la Derivada de cot(x)
Utilizando la identidad trigonométrica:
\[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \]y la regla del cociente, tenemos:
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{\left(\frac{d}{dx} \cos x\right) \cdot \sin x - \cos x \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x} \]Sustituimos \( \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \) y \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \):
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{(-\sin x)(\sin x) - \cos x (\cos x)}{\sin^2 x} = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \]
Fórmula:
\[ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x \]
Gráfico de cot(x) y Su Derivada
Los gráficos de \( \cot x \) y su derivada se muestran a continuación. Dado que \( \cot x \) es decreciente, su derivada es negativa en todas partes.
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Derivada de la Función Compuesta cot(u(x))
Utilizando la regla de la cadena:
\[ \frac{d}{dx} \cot(u(x)) = \frac{d}{du}(\cot u) \cdot \frac{du}{dx} = -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \]
Fórmula de la Regla de la Cadena:
\[ \frac{d}{dx} \cot(u(x)) = -\csc^2(u(x))\,u'(x) \]
Ejemplos con Soluciones
Ejemplos Resueltos: Derivación de Funciones Cotangente Compuestas
Encuentre las derivadas:
- \( f(x) = \cot(x^3 - 2x + 2) \)
- \( g(x) = \cot(e^x) \)
- \( h(x) = \cot\left(\frac{-2}{x^3 + 2}\right) \)
Soluciones:
-
Sea \( u = x^3 - 2x + 2 \), entonces \( u' = 3x^2 - 2 \).
\[ f'(x) = -\csc^2(u) \cdot u' = -(3x^2 - 2)\csc^2(x^3 - 2x + 2) \] -
Sea \( u = e^x \), entonces \( u' = e^x \).
\[ g'(x) = -\csc^2(e^x) \cdot e^x = -e^x \csc^2(e^x) \] -
Sea \( u = \frac{-2}{x^3+2} \). Utilizando la regla del cociente o la regla de la potencia:
\[ u' = \frac{0 - (-2)(3x^2)}{(x^3+2)^2} = \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \] \[ h'(x) = -\csc^2\left(\frac{-2}{x^3+2}\right) \cdot \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} = -\frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \csc^2\left(\frac{2}{x^3+2}\right) \]