Módulo y Argumento de Números Complejos

El módulo y el argumento de un número complejo se definen algebraicamente y se interpretan geométricamente. Se incluyen ejemplos con soluciones detalladas.
Se puede utilizar una calculadora de módulo y argumento para practicar más.

Un número complejo escrito en forma estándar como \( Z = a + ib \) puede representarse en un sistema de ejes rectangulares donde el eje horizontal representa la parte real de \( Z \) y el eje vertical representa la parte imaginaria de \( Z \). La representación geométrica de los números complejos en un plano complejo, también llamado plano de Argand, es muy similar a la representación vectorial en sistemas de ejes rectangulares.

Módulo y argumento en el plano complejo


El módulo de un número complejo en forma estándar \( Z = a + ib \) se define por
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
y su argumento \( \theta \) se define por
\[ \tan (\theta) = \left (\dfrac{b}{a} \right) \]
Nota
Dado que la ecuación trigonométrica anterior tiene un número infinito de soluciones (debido a que la función \( \tan \) es periódica), existen dos convenciones principales para el rango de \( \theta \), a las que llamaremos convención 1 y convención 2 por simplicidad.
Convención (1) define el argumento \( \theta \) en el rango: \( 0 \le \theta \lt 2\pi \)
Convención (2) define el argumento \( \theta \) en el rango: \( (-\pi, +\pi ] \)
Los cuatro cuadrantes, según se definen en trigonometría, están determinados por los signos de \( a \) y \( b\).
Si el lado terminal de \( Z \) está en el cuadrante (I) o (II), las dos convenciones dan el mismo valor de \( \theta \).
Si el lado terminal de \( Z \) está en el cuadrante (III) o (IV), la convención uno da un ángulo positivo y la convención (2) da un ángulo negativo relacionados por:

En lo que sigue, utilizaremos la convención (1) donde \( \theta \) está en el rango: \( 0 \le \theta \lt 2\pi \), pero también mencionaremos la convención (2).
Las interpretaciones gráficas del módulo \( |Z| \) y del argumento \( \theta \) se muestran a continuación para un número complejo en el plano complejo.
El módulo \( |Z| \) es la longitud del segmento que representa el número complejo. Puede representar una magnitud si el número complejo representa una cantidad física. El argumento \( \theta \) es un ángulo en posición estándar (comenzando desde la dirección positiva del eje de la parte real), que representa la dirección de \( Z \).

Si se nos da el módulo \( |Z| \) y el argumento \( \theta \) de un número complejo \( Z \), entonces la forma estándar de \( Z \) viene dada por
\[ Z = |Z| \; ( \cos \theta + i \sin \theta ) \]



Ejemplo 1
Representa el número complejo \( Z = -1 + i \) en el plano complejo y calcula su módulo y argumento.
Solución al Ejemplo 1
El número complejo \(Z = -1 + i = a + i b \) por lo tanto
\( a = -1 \) y \( b = 1 \)
\( Z \) se representa como un vector en un plano complejo como se muestra a continuación, con \( a = -1 \) siendo la parte real y \( b = 1 \) siendo la parte imaginaria.
El módulo de \( Z \), \( |Z| = \sqrt {a^2+b^2} = \sqrt {(-1)^2+(1)^2} = \sqrt 2\), es la longitud del vector que representa el número complejo \( Z \).
El argumento \( \theta \) es el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj, con el lado inicial comenzando desde el eje positivo de la parte real.

Módulo y argumento de un número complejo

\( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} = \sqrt {(-1)^2 + 1^2} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2\)
Primero necesitamos encontrar el ángulo de referencia \( \theta_r \), que es el ángulo agudo entre el lado terminal de \( \theta \) y el eje de la parte real.
\( \theta_r = \tan^{-1}\left|\dfrac{b}{a}\right| = \tan^{-1}\left|\dfrac{1}{-1}\right| =\tan^{-1} (1) = \dfrac{\pi}{4}\)
La parte real de \(z\) es negativa y su parte imaginaria es positiva, por lo tanto, el lado terminal de \( \theta \) está en el cuadrante II (ver la representación de \( z \) arriba).
\( \theta \) se calcula de la siguiente manera:
\( \theta = \pi - \theta_r = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}\)
Conclusión: Módulo: \( |Z| = \sqrt 2\), argumento: \( \theta = \dfrac{3\pi}{4}\)
Nota Ambas convenciones (1) y (2) (ver definición arriba) dan el mismo valor para el argumento \( \theta \).



Ejemplo 2
Calcula el módulo y el argumento de los números complejos:
a) \( i \)
b) \( - 2 \)
c) \( - i \)
d) \( - 1 - 2i \)
e) \( 1 - i \)

Solución al Ejemplo 2
a)
Sea \( Z = i = a + i b \)
da \( a = 0 \) y \( b = 1 \)
Módulo: \( |Z| = \sqrt {0^2 + 1^2} = 1 \)
\( \tan \theta = \dfrac{1}{0} = \text{indefinido} \)
Un ángulo cuyo lado terminal está en el eje imaginario tiene una tangente indefinida.
Es más fácil determinar el argumento \( \theta = \dfrac{\pi}{2} \) a partir de la representación de \( z = i \) que se muestra a continuación.

Módulo y argumento del número complejo i


Nota Ambas convenciones (1) y (2) (ver definición arriba) dan el mismo valor para el argumento \( \theta \).

b)
Sea \( Z = -2 = a + i b \)
da \( a = -2 \) y \( b = 0 \)
Módulo: \( |Z| = \sqrt {(-2)^2 + 0^2} = 2 \)
\( \tan \theta = \dfrac{0}{-2} = 0 \)
Un ángulo cuyo lado terminal está en el eje real tiene una tangente igual a 0.
Podemos determinar que el argumento de \( Z \): \( \theta = \pi \) a partir de la representación de \( Z = -2 \) que se muestra a continuación.

Módulo y argumento del número complejo -2


Nota Ambas convenciones (1) y (2) (ver definición arriba) dan el mismo valor para el argumento \( \theta \).

c)
Sea \( Z = - i = a + i b \)
da \( a = 0 \) y \( b = - 1 \)
Módulo: \( |Z| = \sqrt {0^2 + (-1)^2} = 1 \)
\( \tan \theta = \dfrac{-1}{0} = \text{indefinido} \)
Un ángulo cuya tangente es indefinida es un ángulo cuyo lado terminal está en el eje imaginario.
Determinamos \( \theta = \dfrac{3\pi}{2} \) a partir de la representación de \( z = - i \) que se muestra a continuación.

Módulo y argumento del número complejo -i


Nota La convención (2) da \( \theta = \dfrac{3\pi}{2} - 2\pi = - \dfrac{\pi}{2}\).

d)
Sea \( z = - 1 -2i = a + i b \)
da \( a = -1 \) y \( b = - 2 \)
Módulo: \( |Z| = \sqrt {(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt 5 \)
Determina el ángulo de referencia: \( \tan \theta_r = \left|\dfrac{-2}{-1}\right| = 2 \), \( \theta_r = \arctan 2 \)
El argumento de \( Z \) es: \( \theta = \pi + \theta_r = \pi + \arctan 2 \approx 4.25 \)

Módulo y argumento del número complejo -1-2i


Nota La convención (2) da \( \theta = \pi + \arctan 2 - 2\pi = -\pi + \arctan 2 \approx -2.03444 \).

e)
Sea \( Z = 1 - i = a + i b \)
da \( a = 1 \) y \( b = - 1 \)
Módulo: \( |Z| = \sqrt {(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt 2 \)
Determina el ángulo de referencia: \( \tan \theta_r = \left|\dfrac{-1}{1}\right| = 1 \), \( \theta_r = \dfrac{\pi}{4} \)
El argumento de \( Z \) es: \( \theta = 2\pi - \theta_r = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4} \)

Módulo y argumento del número complejo 1 - i



Nota La convención (2) da \( \theta = \dfrac{7\pi}{4} - 2\pi = - \dfrac{\pi}{4} \).


Ejemplo 3
Representa cada uno de los números complejos dados por su módulo y argumento y escríbelos en forma estándar.
a) \( |Z_1| = 3 \), \( \theta_1 = 0 \)
b) \( |Z_2| = 4 \), \( \theta_2 = 135^{\circ} \)
c) \( |Z_3| = 2 \), \( \theta_3 = \dfrac{7\pi}{6} \)
d) \( |Z_4| = 2.5 \), \( \theta_4 = 300^{\circ} \)

Solución al Ejemplo 3
La representación de todos los números complejos dados se muestra a continuación.

Representación de números complejos dados su módulo y argumento


Escribe en forma estándar.
a) \( Z_1 = 3\cos 0 + 3 \sin 0 \, i = 3 \)
b) \( Z_2 = 4\cos 135^{\circ} + 4 \sin 135^{\circ} \, i \approx -2.88 + 2.88 i \)
c) \( Z_3 = 2\cos \dfrac{7\pi}{6} + 2 \sin \dfrac{7\pi}{6} \, i \approx -1.73 - i \)
d) \( Z_4 = 2.5\cos 300^{\circ} + 2.5 \sin 300^{\circ} \, i \approx 1.25 - 2.17 i \)

También puedes revisar El Teorema de De Moivre: Potencias y Raíces de Números Complejos.



Preguntas

1) Calcula el módulo y el argumento (en grados y radianes) de los números complejos.
  1. \( z_1 = - 1 \)
  2. \( z_2 = - 2 i \)
  3. \( z_3 = -\sqrt 3 - i \)
  4. \( z_4 = - 3 + 3\sqrt 3 i \)
  5. \( z_5 = 7 - 7 i \)


2) Escribe en forma estándar los números complejos dados por su módulo y argumento.
  1. \( |Z_1| = 0.5 \), \( \theta_1 = 2.1 \)
  2. \( |Z_2| = 3.4 \), \( \theta_2 = \pi/2 \)
  3. \( |Z_3| = 4 \), \( \theta_3 = 0 \)
  4. \( |Z_4| = 12 \), \( \theta_4 = 122^{\circ} \)
  5. \( |Z_5| = 200 \), \( \theta_5 = 5\pi/3 \)
  6. \( |Z_6| = 3/7 \), \( \theta_6 = 330^{\circ} \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores

1)
  1. \( |z_1| = 1 \), \( \theta_1 = \pi \) o \( \theta_1 = 180^{\circ} \)      la convención (2) da los mismos valores para el argumento
  2. \( |z_2| = 2 \), \( \theta_2 = 3\pi/2 \) o \( \theta_2 = 270^{\circ} \)      la convención (2) da: \( - \pi/2 \) o \( -90^{\circ} \)
  3. \( |z_3| = 2 \), \( \theta_3 = 11 \pi/6 \) o \( \theta_3 = 330^{\circ} \)      la convención (2) da: \( - \pi/6 \) o \( -30^{\circ} \)
  4. \( |z_4| = 6 \), \( \theta_4 = 2\pi/3\) o \( \theta_4 = 120^{\circ}\)      la convención (2) da los mismos valores para el argumento.
  5. \( |z_5| = 7\sqrt{2} \), \( \theta_5 = 7\pi/4\) o \( \theta_5 = 315^{\circ}\)      la convención (2) da: \( - \pi/4 \) o \( -45^{\circ} \)


2)
  1. \( Z_1 = 0.5 (\cos 2.1 + i \sin 2.1) \approx 0.18 + 0.43 i\)
  2. \( Z_2 = 3.4 (\cos \pi/2 + i \sin \pi/2) = 3.4 i\) (Nota: \(\cos(\pi/2)=0\), \(\sin(\pi/2)=1\))
  3. \( Z_3 = 4 (\cos 0 + i \sin 0) = 4\)
  4. \( Z_4 = 12 (\cos 122^{\circ} + i \sin 122^{\circ} ) \approx -6.36 + 10.18 i\)
  5. \( Z_5 = 200 (\cos 5\pi/3 + i \sin 5\pi/3 )= 100 - 100\sqrt{3} i\)
  6. \( Z_6 = (3/7) (\cos 330^{\circ} + i \sin 330^{\circ} ) = \dfrac{3\sqrt{3}}{14} - \dfrac{3}{14} i \)

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