La división de fracciones se explica mediante ejemplos con soluciones detalladas y ejercicios con respuestas. Una calculadora de fracciones está incluida en este sitio web.
Primero definimos el recíproco de una fracción.
El recíproco de la fracción \( \dfrac{x}{y} \) es \( \dfrac{1}{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{y}{x} \)
Para dividir dos fracciones, multiplicamos la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción. Por lo tanto
\[ \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \]
Ejemplo 1
Divide y simplifica, y expresa la respuesta final como una fracción.
\( \dfrac{2}{3} \div \dfrac{5}{7} \)
Solución al Ejemplo 1
Para dividir fracciones, multiplicas la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción. El recíproco de \( \dfrac{5}{7} \) es \( \dfrac{7}{5} \). Por lo tanto,
\( \dfrac{2}{3} \div \dfrac{5}{7} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{5}\)
Multiplicamos numeradores y denominadores como sigue.
\( = \dfrac{2 \times 7}{3 \times 5} \)
No hay factores comunes entre los términos del numerador y los del denominador, por lo tanto simplificamos multiplicando de la siguiente manera.
\( = \dfrac{14}{15} \)
Ejemplo 2
Divide y simplifica, y expresa la respuesta final como una fracción.
\( \dfrac{5}{3} \div \dfrac{10}{7} \)
Solución al Ejemplo 2
Dividimos fracciones multiplicando la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción. El recíproco de \( \dfrac{10}{7} \) es \( \dfrac{7}{10} \). Por lo tanto,
\( \dfrac{5}{3} \div \dfrac{10}{7} = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{7}{10}\)
Multiplicamos numeradores y denominadores como sigue
\( = \dfrac{5 \times 7}{3 \times 10} \)
El término 5 en el numerador y el término 10 en el denominador tienen un máximo común divisor igual a 5; por lo tanto, dividimos estos dos términos por el factor común 5 de la siguiente manera
\( = \dfrac{\color{red}{(5 \div 5)} \times 7}{3 \times \color{red}{(10 \div 5)}} \)
Simplificar
\( = \dfrac{\color{red}{1} \times 7}{3 \times \color{red}{2}} = \dfrac{7}{6}\)
Ejemplo 3 (dividir una fracción por un entero)
Divide y simplifica, y expresa la respuesta final como una fracción.
\( \dfrac{11}{9} \div 2 \)
Solución al Ejemplo 3
Para dividir una fracción por un entero, primero reescribe el entero como una fracción.
\( \dfrac{11}{9} \div 2 = \dfrac{11}{9} \div \dfrac{2}{1} \)
Ahora usa la regla de división de dos fracciones.
\( = \dfrac{11}{9} \times \dfrac{1}{2} \)
\( = \dfrac{11 \times 1}{ 9 \times 2} \)
No hay factores comunes entre los términos del numerador y los términos del denominador, así que simplemente multiplicamos.
\( = \dfrac{11}{18} \)
Ejemplo 4 (dividir un entero por una fracción)
Divide, simplifica y expresa la respuesta final como una fracción.
\( 3 \div \dfrac{2}{7} \)
Solución al Ejemplo 4
Para dividir un entero por una fracción, primero convierte el entero en una fracción con denominador igual a 1,
\( 3 \div \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{1} \div \dfrac{2}{7} \)
luego realiza la división de dos fracciones usando la regla como se hizo anteriormente
\( = \dfrac{3}{1} \times \dfrac{7}{2} \)
No hay factores comunes entre los términos del numerador y denominador, por lo tanto la respuesta final se escribe como
\( = \dfrac{21}{2} \)
Ejemplo 5
Divide, simplifica y expresa la respuesta final como un número mixto.
\( \dfrac{75}{4} \div \dfrac{5}{6} \)
Solución al Ejemplo 5
Usa la regla de división de dos fracciones.
\( \dfrac{75}{4} \div \dfrac{5}{6} = \dfrac{75}{4} \times \dfrac{6}{5}\)
Multiplica numeradores y denominadores
\( = \dfrac{75 \times 6 }{ 4 \times 5} \)
Los términos 75 y 5 tienen un máximo común divisor igual a 5, y los términos 6 y 4 tienen un máximo común divisor igual a 2. Por lo tanto, dividimos 75 y 5 entre 5, y 6 y 4 entre 2 de la siguiente manera
\( = \dfrac{ \color{red}{(75\div5)} \times \color{blue}{(6\div 2)} }{ \color{blue}{(4\div 2)} \times \color{red}{(5\div5)}} \)
Simplificar
\( = \dfrac{ \color{red}{(15)} \times \color{blue}{(3)} }{ \color{blue}{(2)} \times \color{red}{(1)}} = \dfrac{45}{2} \)
Escribe la fracción impropia \( \dfrac{45}{2} \) como número mixto dividiendo 45 por 2 usando división larga. Cuando dividimos 45 por 2, el cociente es igual a 22 y el resto es igual a 1. Por lo tanto, la respuesta final como número mixto es:
\( = 22 \dfrac{1}{2} \)
Ejemplo 6 (Dividir números mixtos)
Divide, simplifica y expresa la respuesta final como una fracción.
\( 3\dfrac{3}{5} \div 4\dfrac{2}{3} \)
Solución al Ejemplo 6
Convierte los números mixtos en fracciones impropias.
\( 3\dfrac{3}{5} = 3 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{15}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{18}{5}\)
\( 4\dfrac{2}{3} = 4 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{14}{3} \)
Reescribe la expresión dada usando las fracciones impropias
\( 3\dfrac{3}{5} \div 4\dfrac{2}{3} = \dfrac{18}{5} \div \dfrac{14}{3}\)
Usa la regla de división de dos fracciones
\( = \dfrac{18}{5} \times \dfrac{3}{14}\)
Los términos 18 y 14 tienen un máximo común divisor igual a 2, por lo tanto dividimos 18 y 14 entre 2 de la siguiente manera
\( = \dfrac{18\div2}{5} \times \dfrac{3}{14\div2}\)
Simplificar
\( = \dfrac{9}{5} \times \dfrac{3}{7}\)
\( = \dfrac{27}{35} \)
Ejemplo 7 (Dividir una fracción por un decimal)
Divide, simplifica y expresa la respuesta final como una fracción.
\( \dfrac{1}{5} \div 1.1 \)
Solución al Ejemplo 7
Convierte el número decimal 1.1 en una fracción
\( 1.1 = \dfrac{1.1}{1} = \dfrac{1.1 \times 10}{1 \times 10} = \dfrac{11}{10} \)
Reescribe la expresión dada usando solo fracciones
\( \dfrac{1}{5} \div 1.1 = \dfrac{1}{5} \div \dfrac{11}{10} \)
Usa la regla de división de dos fracciones
\( = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{10}{11} \)
Los términos 5 y 10 tienen un máximo común divisor igual a 5, por lo tanto dividimos 10 y 5 entre 5 de la siguiente manera
\( = \dfrac{1}{5\div 5} \times \dfrac{10\div 5}{11} \)
Simplificar
\( = \dfrac{1}{1} \times \dfrac{2}{11}\)
\( = \dfrac{2}{11} \)
Divide las fracciones y simplifica la respuesta final. Si es una fracción impropia, escríbela como número mixto.
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