Se presentan preguntas relacionadas con la función inversa para pares ordenados, funciones lineales, de raíz cúbica, raíz cuadrada, logarítmicas y exponenciales, junto con sus soluciones detalladas. Las respuestas se verifican algebraica y gráficamente utilizando las propiedades de una función dada y su inversa. Para ser más efectivo, se recomienda resolver las preguntas en orden, ya que cada una facilita la comprensión de la siguiente.
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a) Encuentra la inversa de la función \( f \) dada por: \[ f = \{( -2 , 0) , (0 , 1) , (2 , 3) , (3 , 4)\} \] b) Encuentra el dominio y rango de la inversa de \( f \).
c) Sea \( f^{-1} \) la inversa de \( f \). Evalúa: \[ f(f^{-1}(1)) \; , \; f^{-1}(f(0)) \; , \; f^{-1}(f(2)) \; , \; f(f^{-1}(3)) \]
d) Grafica \( f \) y \( f^{-1} \) en el mismo sistema de ejes rectangulares y escribe todas las propiedades de \( f \) y su inversa \( f^{-1} \).
a) La inversa de f se encuentra intercambiando la entrada y salida de la función dada. Por lo tanto, la inversa de f está dada por: \[ f^{-1} = \{(0 , -2) , (1 , 0) , (3 , 2) , (4 , 3)\} \]
b) Dominio de \( f^{-1} \): \( \{0 , 1 , 3 , 4\} \)
Rango de \( f^{-1} \): \( \{-2 , 0 , 2 , 3\} \)
c) \[ f(f^{-1}(1)) = f(0) = 1 \] \[ f^{-1}(f(0)) = f^{-1}(1) = 0 \] \[ f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(3) = 2 \] \[ f(f^{-1}(3)) = f(4) = 3 \]
d) La gráfica de \( f \) (azul) y \( f^{-1} \) (rojo) se muestran a continuación.
Importante: Observa las siguientes propiedades de \( f \) y su inversa \( f^{-1} \).
1) La gráfica de \( f \) y la gráfica de \( f^{-1} \) son reflejos una de la otra sobre la línea \( y = x \).
2) Las intersecciones x e y en la gráfica de \( f \) se convierten en intersecciones y e x, respectivamente, en la gráfica de \( f^{-1} \).
3) El dominio y rango de \( f \) son el rango y dominio, respectivamente, de \( f^{-1} \).
4) \( f(f^{-1}(x)) = x \) y \( f^{-1}(f(x)) = x \).
5) Si la función \( f \) es la inversa de la función \( g \), entonces la función \( g \) es la inversa de la función \( f \) (una función y su inversa forman un par de funciones).
Encuentra la inversa de la función lineal \( f(x) = 2x + 2 \) y grafica \( f \) y su inversa en el mismo sistema de ejes.
Cómo encontrar la inversa:
Paso 1: Reemplaza \( f(x) \) por \( y \) y reescribe la función como una ecuación: \[ y = 2x + 2 \]
Paso 2: Intercambia \( x \) y \( y \) en la ecuación anterior: \[ x = 2y + 2 \]
Paso 3: Resuelve la ecuación anterior para \( y \): \[ 2y = x - 2 \] \[ y = \frac{1}{2}x - 1 \]
Paso 4: Escribe la inversa usando la notación de función inversa: \[ f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x - 1 \]
Paso 5: Verifica la respuesta obtenida usando las propiedades: \( f(f^{-1}(x)) = x \) y \( f^{-1}(f(x)) = x \). \[ f(f^{-1}(x)) = 2(f^{-1}(x)) + 2 = 2\left(\frac{1}{2}x - 1\right) + 2 = x - 2 + 2 = x \] \[ f^{-1}(f(x)) = \frac{1}{2} f(x) - 1 = \frac{1}{2}(2x + 2) - 1 = x + 1 - 1 = x \]
Las gráficas de \( f \) y \( f^{-1} \) se muestran a continuación. Se puede ver fácilmente que las gráficas son reflejos una de la otra sobre la línea \( y = x \). Este es un método gráfico para verificar si un par de funciones son inversas entre sí.
Encuentra la inversa de la función \( g(x) = \sqrt[3]{x - 1} \) y grafica \( g \) y su inversa en el mismo sistema de ejes.
Paso 1: Reescribe la función como una ecuación: \[ y = \sqrt[3]{x - 1} \]
Paso 2: Intercambia x e y: \[ x = \sqrt[3]{y - 1} \]
Paso 3: Resuelve la ecuación anterior para \( y \). Eleva ambos lados de la ecuación a la potencia 3 y simplifica: \[ x^3 = (\sqrt[3]{y - 1})^3 \] \[ x^3 = y - 1 \] \[ y = x^3 + 1 \]
Paso 4: Usa la notación de función inversa para escribir: \[ g^{-1}(x) = x^3 + 1 \]
Paso 5: Verifica algebraicamente la respuesta usando las propiedades: \( g(g^{-1}(x)) = x \) y \( g^{-1}(g(x)) = x \). \[ g(g^{-1}(x)) = \sqrt[3]{g^{-1}(x) - 1} = \sqrt[3]{x^3 + 1 - 1} = \sqrt[3]{x^3} = x \] \[ g^{-1}(g(x)) = (g(x))^3 + 1 = (\sqrt[3]{x - 1})^3 + 1 = x - 1 + 1 = x \]
Podemos verificar fácilmente que las gráficas de las funciones \( g \) y \( g^{-1} \), mostradas a continuación, son reflejos una de la otra sobre la línea \( y = x \) y, por lo tanto, son inversas entre sí.
Encuentra la inversa de la función \( h(x) = \ln(x - 1) \) y grafica \( h \) y su inversa en el mismo sistema de ejes.
Paso 1: Reescribe la función como una ecuación: \[ y = \ln(x - 1) \]
Paso 2: Intercambia x e y: \[ x = \ln(y - 1) \]
Paso 3: Resuelve la ecuación anterior para \( y \) convirtiendo la expresión logarítmica a expresión exponencial: \[ y - 1 = e^x \] \[ y = e^x + 1 \]
Paso 4: Usa la notación de función inversa: \[ h^{-1}(x) = e^x + 1 \]
Paso 5: Verifica algebraicamente la respuesta: \[ h(h^{-1}(x)) = \ln(h^{-1}(x) - 1) = \ln(e^x + 1 - 1) = \ln(e^x) = x \] \[ h^{-1}(h(x)) = e^{h(x)} + 1 = e^{\ln(x - 1)} + 1 = x - 1 + 1 = x \]
Las gráficas de las funciones \( h \) y \( h^{-1} \) se muestran a continuación. Las dos gráficas son reflejos una de la otra sobre la línea \( y = x \) y, por lo tanto, son inversas entre sí.
Encuentra la inversa de la función \( m(x) = \sqrt{x + 2} \)
Paso 1: Reescribe la función dada como una ecuación: \[ y = \sqrt{x + 2} \]
Paso 2: Intercambia x e y: \[ x = \sqrt{y + 2} \]
Paso 3: Resuelve la ecuación anterior para \( y \) elevando ambos lados al cuadrado: \[ x^2 = (\sqrt{y + 2})^2 \] \[ x^2 = y + 2 \] \[ y = x^2 - 2 \]
Nota: \( y = x^2 - 2 \) no es una función uno a uno y, por lo tanto, no es invertible. Necesitamos restringir su dominio. El dominio de una función inversa es el rango de la función dada \( y = \sqrt{x + 2} \), que está dado por el intervalo \( [0, \infty) \).
Paso 4: Usa la notación de función inversa: \[ m^{-1}(x) = x^2 - 2 \; , \; x \ge 0 \; \text{(dominio restringido)} \]
Paso 5: Verifica algebraicamente la respuesta: \[ m(m^{-1}(x)) = \sqrt{m^{-1}(x) + 2} = \sqrt{x^2 - 2 + 2} = \sqrt{x^2} = |x| = x \; \text{porque} \; x \ge 0 \] \[ m^{-1}(m(x)) = (m(x))^2 - 2 = (\sqrt{x + 2})^2 - 2 = x + 2 - 2 = x \]
Las gráficas de \( m \) y \( m^{-1} \) mostradas a continuación son reflejos una de la otra sobre la línea \( y = x \) y, por lo tanto, son inversas entre sí.
Encuentra la inversa de la función \( t(x) = \dfrac{1}{x-1} \)
Paso 1: Reescribe la función dada como una ecuación: \[ y = \dfrac{1}{x-1} \]
Paso 2: Intercambia x e y: \[ x = \dfrac{1}{y - 1} \]
Paso 3: Resuelve la ecuación anterior para \( y \) multiplicando ambos lados por \( y - 1 \) y simplificando: \[ x(y - 1) = 1 \] \[ xy - x = 1 \] \[ xy = x + 1 \] \[ y = \dfrac{x + 1}{x} \]
Paso 4: Usa la notación de función inversa para escribir: \[ t^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x} \]
Paso 5: Verifica algebraicamente la respuesta: \[ t(t^{-1}(x)) = \dfrac{1}{t^{-1}(x) - 1} = \dfrac{1}{\frac{x+1}{x} - 1} = \dfrac{1}{\frac{x+1 - x}{x}} = \dfrac{1}{\frac{1}{x}} = x \] \[ t^{-1}(t(x)) = \dfrac{t(x) + 1}{t(x)} = \dfrac{\frac{1}{x-1} + 1}{\frac{1}{x-1}} = \dfrac{\frac{1 + (x-1)}{x-1}}{\frac{1}{x-1}} = \dfrac{\frac{x}{x-1}}{\frac{1}{x-1}} = x \]
Podemos verificar que las gráficas de la función \( t \) y su inversa \( t^{-1} \), mostradas a continuación, son reflejos una de la otra sobre la línea \( y = x \) y, por lo tanto, son inversas entre sí.
