Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Conjunto de pares ordenados
Encuentre la inversa de \( f = \{( -2 , 0) , (0 , 1) , (2 , 3) , (3 , 4)\} \).
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Para encontrar la inversa de un conjunto de puntos, simplemente intercambie las coordenadas x e y:
\[ f^{-1} = \{(0 , -2) , (1 , 0) , (3 , 2) , (4 , 3)\} \]Dominio de \( f^{-1} \): \(\{0, 1, 3, 4\}\)
Rango de \( f^{-1} \): \(\{-2, 0, 2, 3\}\)
Ejemplo 2: Función lineal
Encuentre la inversa de \( f(x) = 2x + 2 \).
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- Reemplace \( f(x) \) con \( y \): \( y = 2x + 2 \)
- Intercambie \( x \) e \( y \): \( x = 2y + 2 \)
- Resuelva para \( y \):
\( x - 2 = 2y \)
\( y = \frac{1}{2}x - 1 \)
Resultado: \( f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x - 1 \)
Ejemplo 3: Función de raíz cúbica
Encuentre la inversa de \( g(x) = \sqrt[3]{x - 1} \).
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- Intercambie las variables: \( x = \sqrt[3]{y - 1} \)
- Eleve al cubo ambos lados: \( x^3 = y - 1 \)
- Resuelva para \( y \): \( y = x^3 + 1 \)
Resultado: \( g^{-1}(x) = x^3 + 1 \)
Ejemplo 4: Función logarítmica
Encuentre la inversa de \( h(x) = \ln(x - 1) \).
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- Intercambie las variables: \( x = \ln(y - 1) \)
- Convierta a forma exponencial: \( e^x = y - 1 \)
- Resuelva para \( y \): \( y = e^x + 1 \)
Resultado: \( h^{-1}(x) = e^x + 1 \)
Ejemplo 5: Función de raíz cuadrada
Encuentre la inversa de \( m(x) = \sqrt{x + 2} \).
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- Intercambie las variables: \( x = \sqrt{y + 2} \)
- Eleve al cuadrado ambos lados: \( x^2 = y + 2 \)
- Resuelva para \( y \): \( y = x^2 - 2 \)
Nota crítica: Dado que el rango de la función original es \( y \ge 0 \), el dominio de la inversa debe estar restringido.
Resultado: \( m^{-1}(x) = x^2 - 2 \text{ para } x \ge 0 \)
Ejemplo 6: Función racional
Encuentre la inversa de \( t(x) = \frac{1}{x-1} \).
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- Intercambie las variables: \( x = \frac{1}{y-1} \)
- Multiplique ambos lados por \((y-1)\): \( x(y-1) = 1 \)
- Expanda y aísle \( y \):
\( xy - x = 1 \)
\( xy = 1 + x \)
\( y = \frac{x+1}{x} \)
Resultado: \( t^{-1}(x) = \frac{x+1}{x} \)
