¿Cómo usar la simetría de un círculo unitario para encontrar los valores de las funciones seno y coseno para ángulos relacionados por simetría con los ángulos especiales \( \dfrac{\pi}{6} \), \( \dfrac{\pi}{4} \) y \( \dfrac{\pi}{3} \)?
Cualquier línea que pase por el centro de un círculo es un eje de simetría. El centro del círculo es un punto de simetría. Consideremos un círculo unitario con centro en el origen de un sistema de ejes x e y. Nos interesan las simetrías respecto al origen, al eje x y al eje y.
Conociendo los valores del seno y coseno de los ángulos en el primer cuadrante, es más fácil usar la simetría del círculo unitario para obtener el seno y coseno de los ángulos en los otros cuadrantes.
El círculo unitario siguiente muestra los valores de las funciones coseno y seno (coordenadas en azul, donde la coordenada x es el coseno y la coordenada y es el seno) para los ángulos especiales:
Ángulos en radianes y grados: \( 0 \), \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°), \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°), \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°), \( \dfrac{\pi}{2} \) (90°), \( \dfrac{2\pi}{3} \) (120°), \( \dfrac{5\pi}{4} \) (135°) ...
Considera los ángulos: \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \) y \( \dfrac{5\pi}{3} \). Todos se relacionan con \( \dfrac{\pi}{3} \):
Por lo tanto:
\[ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]Por lo tanto:
\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]Por lo tanto:
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]Nota: El seno y coseno de \( \dfrac{\pi}{3} \), \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \) y \( \dfrac{5\pi}{3} \) tienen los mismos valores absolutos. Los signos dependen del cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo. Por lo tanto, sabiendo que:
\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]Podemos determinar fácilmente el seno y coseno de \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \) y \( \dfrac{5\pi}{3} \) aplicando la simetría del círculo unitario y ajustando los signos apropiadamente.
Considera los ángulos: \( \dfrac{5\pi}{6} \), \( \dfrac{7\pi}{6} \) y \( \dfrac{11\pi}{6} \). Todos tienen una relación con \( \dfrac{\pi}{6} \):
Por lo tanto:
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \]Por lo tanto:
\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]Por lo tanto:
\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]NOTA: El seno y coseno de \( \dfrac{\pi}{6} \), \( \dfrac{5\pi}{6} \), \( \dfrac{7\pi}{6} \) y \( \dfrac{11\pi}{6} \) tienen los mismos valores absolutos. Sus signos dependen del cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo.
Considera los ángulos \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \) y \( \dfrac{7\pi}{4} \). Cada uno de estos ángulos está relacionado con \( \dfrac{\pi}{4} \) por simetría:
Por lo tanto:
\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Por lo tanto:
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Por lo tanto:
\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Nota: Los valores de seno y coseno de los ángulos \( \dfrac{\pi}{4} \), \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \) y \( \dfrac{7\pi}{4} \) tienen el mismo valor absoluto. Sus signos dependen del cuadrante en el que se encuentra el lado terminal de cada ángulo.