¿Cuáles son los valores exactos de seno y coseno de \( \frac{11\pi}{6} \)?

\( \cos(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) y \( \sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \)

Encuentre el valor exacto de \( \cos(-\frac{3\pi}{4}) \) sin calculadora.

El ángulo \( -\frac{3\pi}{4} \) es coterminal con \( \frac{5\pi}{4} \) en el Cuadrante III. Por lo tanto, \( \cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Encuentre el seno y coseno exactos de \( \frac{16\pi}{3} \).

Restar \( 4\pi \) da el ángulo coterminal \( \frac{4\pi}{3} \) en el Cuadrante III. \( \cos(\frac{16\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) y \( \sin(\frac{16\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

¿Cuáles son los ángulos especiales en el círculo unitario?

Los ángulos especiales principales en el primer cuadrante son 0, \( \frac{\pi}{6} \) (30 grados), \( \frac{\pi}{4} \) (45 grados), \( \frac{\pi}{3} \) (60 grados) y \( \frac{\pi}{2} \) (90 grados). Todos los demás ángulos especiales alrededor del círculo son reflejos de estos ángulos base.

¿Cómo funciona la simetría del círculo unitario?

Los ángulos que se reflejan a través del eje y, el eje x o el origen comparten los mismos valores absolutos de seno y coseno que su ángulo de referencia del primer cuadrante. Solo el signo positivo o negativo cambia dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el ángulo.

¿Qué cuadrante tiene un seno negativo y un coseno positivo?

El Cuadrante IV. Porque el coseno corresponde a la coordenada x (que es positiva a la derecha del eje y) y el seno corresponde a la coordenada y (que es negativa debajo del eje x).

Ángulos especiales del círculo unitario | Simetría y valores trigonométricos

Comprender la simetría del círculo unitario

Cualquier línea a través del centro de un círculo es una línea de simetría. Consideramos un círculo unitario con su centro en el origen \( (0,0) \). Nos interesan tres tipos específicos de simetría:

Simetría a través del eje y: Relaciona el Cuadrante I con el Cuadrante II.
Simetría a través del origen: Relaciona el Cuadrante I con el Cuadrante III.
Simetría a través del eje x: Relaciona el Cuadrante I con el Cuadrante IV.

El círculo unitario a continuación muestra el coseno (coordenada x) y el seno (coordenada y) para los ángulos especiales en radianes y grados: \( 0, \dfrac{\pi}{6} (30^\circ), \dfrac{\pi}{4} (45^\circ), \dfrac{\pi}{3} (60^\circ), \text{ y } \dfrac{\pi}{2} (90^\circ) \).

Círculo unitario que muestra los ángulos especiales en el cuadrante 1 — Figura 1. El círculo unitario y los ángulos especiales del cuadrante 1

Ángulos relacionados con \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°)

Considere los ángulos: \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \), y \( \dfrac{5\pi}{3} \). Todos ellos tienen un ángulo de referencia de \( \dfrac{\pi}{3} \).

Valores base: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

1. Simetría con respecto al eje y (Cuadrante II)

\[ \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} \]

En el Cuadrante II, x es negativa e y es positiva.

\[ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

2. Simetría con respecto al origen (Cuadrante III)

\[ \dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} \]

En el Cuadrante III, tanto x como y son negativas.

\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

3. Simetría con respecto al eje x (Cuadrante IV)

\[ \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

En el Cuadrante IV, x es positiva e y es negativa.

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

Ángulos relacionados con \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°)

Considere los ángulos: \( \dfrac{5\pi}{6} \), \( \dfrac{7\pi}{6} \), y \( \dfrac{11\pi}{6} \). Todos ellos tienen un ángulo de referencia de \( \dfrac{\pi}{6} \).

Valores base: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)

1. Simetría con respecto al eje y (Cuadrante II)

\[ \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]

2. Simetría con respecto al origen (Cuadrante III)

\[ \dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

3. Simetría con respecto al eje x (Cuadrante IV)

\[ \dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

Ángulos relacionados con \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°)

Considere los ángulos: \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \), y \( \dfrac{7\pi}{4} \). Todos ellos tienen un ángulo de referencia de \( \dfrac{\pi}{4} \).

Valores base: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

1. Simetría con respecto al eje y (Cuadrante II)

\[ \dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

2. Simetría con respecto al origen (Cuadrante III)

\[ \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

3. Simetría con respecto al eje x (Cuadrante IV)

\[ \dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

Preguntas de desafío

Aplique sus conocimientos sobre el círculo unitario, los ángulos de referencia y los ángulos coterminales para resolver los siguientes problemas sin calculadora.

Pregunta 1 (Ángulos negativos): Encuentre el valor exacto de \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \) y \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \).

Ver solución

Paso 1: Un ángulo negativo significa rotar en el sentido de las agujas del reloj. Para encontrar un ángulo coterminal positivo, sume \( 2\pi \).

\[ -\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} \]

Paso 2: El ángulo \( \dfrac{5\pi}{4} \) está en el Cuadrante III. Tanto el seno como el coseno son negativos.

Respuesta: \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) y \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \)

Pregunta 2 (Ángulos mayores que \(2\pi\)): Encuentre el seno y coseno exactos de \( \dfrac{16\pi}{3} \).

Ver solución

Paso 1: Encuentre un ángulo coterminal entre \( 0 \) y \( 2\pi \) restando repetidamente círculos completos (\( 2\pi \) o \( \dfrac{6\pi}{3} \)).

\[ \dfrac{16\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{10\pi}{3} \]

\[ \dfrac{10\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Paso 2: El ángulo \( \dfrac{4\pi}{3} \) está en el Cuadrante III con un ángulo de referencia de \( \dfrac{\pi}{3} \).

Respuesta: \( \cos\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \) y \( \sin\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \)

Pregunta 3 (Funciones recíprocas): Encuentre el valor exacto de \( \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \) y \( \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \).

Ver solución

Paso 1: Identifique los valores básicos de seno y coseno. El ángulo \( \dfrac{11\pi}{6} \) está en el Cuadrante IV.

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{y} \quad \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]

Paso 2: Use las identidades recíprocas: \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \) y \( \csc(\theta) = \dfrac{1}{\sin(\theta)} \).

\[ \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \]

\[ \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{-1/2} = \mathbf{-2} \]

Ángulos especiales en el círculo unitario

Comprender la simetría del círculo unitario

Ángulos relacionados con \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°)

Ángulos relacionados con \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°)

Ángulos relacionados con \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°)

Preguntas de desafío

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