¿Cuáles son los valores exactos de seno y coseno de \( \frac{11\pi}{6} \)?

\( \cos(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) y \( \sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \)

Encuentra el valor exacto de \( \cos(-\frac{3\pi}{4}) \) sin calculadora.

El ángulo \( -\frac{3\pi}{4} \) es coterminal con \( \frac{5\pi}{4} \) en el Cuadrante III. Por lo tanto, \( \cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Encuentra el seno y coseno exactos de \( \frac{16\pi}{3} \).

Restar \( 4\pi \) da el ángulo coterminal \( \frac{4\pi}{3} \) en el Cuadrante III. \( \cos(\frac{16\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) y \( \sin(\frac{16\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

¿Cuáles son los ángulos especiales en el círculo unitario?

Los ángulos especiales principales en el primer cuadrante son 0, \( \frac{\pi}{6} \) (30 grados), \( \frac{\pi}{4} \) (45 grados), \( \frac{\pi}{3} \) (60 grados) y \( \frac{\pi}{2} \) (90 grados). Todos los demás ángulos especiales alrededor del círculo son reflexiones de estos ángulos base.

¿Cómo funciona la simetría del círculo unitario?

Los ángulos que se reflejan a través del eje y, el eje x o el origen comparten los mismos valores absolutos para seno y coseno que su ángulo de referencia del primer cuadrante. Solo cambia el signo positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el ángulo.

¿Qué cuadrante tiene seno negativo y coseno positivo?

El Cuadrante IV. Porque el coseno corresponde a la coordenada x (que es positiva a la derecha del eje y) y el seno corresponde a la coordenada y (que es negativa debajo del eje x).

Ángulos Especiales del Círculo Unitario | Simetría y Valores Trigonométricos

Entendiendo la Simetría del Círculo Unitario

Cualquier línea que pase por el centro de un círculo es una línea de simetría. Consideramos un círculo unitario con su centro en el origen \( (0,0) \). Nos interesan tres tipos específicos de simetría:

Simetría respecto al eje y: Relaciona el Cuadrante I con el Cuadrante II.
Simetría respecto al origen: Relaciona el Cuadrante I con el Cuadrante III.
Simetría respecto al eje x: Relaciona el Cuadrante I con el Cuadrante IV.

El círculo unitario a continuación muestra el coseno (coordenada x) y el seno (coordenada y) para los ángulos especiales en radianes y grados: \( 0, \dfrac{\pi}{6} (30^\circ), \dfrac{\pi}{4} (45^\circ), \dfrac{\pi}{3} (60^\circ) \text{ y } \dfrac{\pi}{2} (90^\circ) \).

Círculo unitario mostrando ángulos especiales en el cuadrante 1 — Figura 1. El Círculo Unitario y los Ángulos Especiales del Cuadrante 1

Ángulos Relacionados con \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°)

Considera los ángulos: \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \) y \( \dfrac{5\pi}{3} \). Todos tienen un ángulo de referencia de \( \dfrac{\pi}{3} \).

Valores Base: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

1. Simetría respecto al eje y (Cuadrante II)

\[ \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} \]

En el Cuadrante II, x es negativo y y es positivo.

\[ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

2. Simetría respecto al origen (Cuadrante III)

\[ \dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} \]

En el Cuadrante III, tanto x como y son negativos.

\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

3. Simetría respecto al eje x (Cuadrante IV)

\[ \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

En el Cuadrante IV, x es positivo y y es negativo.

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

Ángulos Relacionados con \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°)

Considera los ángulos: \( \dfrac{5\pi}{6} \), \( \dfrac{7\pi}{6} \) y \( \dfrac{11\pi}{6} \). Todos tienen un ángulo de referencia de \( \dfrac{\pi}{6} \).

Valores Base: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)

1. Simetría respecto al eje y (Cuadrante II)

\[ \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]

2. Simetría respecto al origen (Cuadrante III)

\[ \dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

3. Simetría respecto al eje x (Cuadrante IV)

\[ \dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

Ángulos Relacionados con \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°)

Considera los ángulos: \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \) y \( \dfrac{7\pi}{4} \). Todos tienen un ángulo de referencia de \( \dfrac{\pi}{4} \).

Valores Base: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

1. Simetría respecto al eje y (Cuadrante II)

\[ \dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

2. Simetría respecto al origen (Cuadrante III)

\[ \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

3. Simetría respecto al eje x (Cuadrante IV)

\[ \dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

Preguntas de Desafío

Aplica tu conocimiento del círculo unitario, ángulos de referencia y ángulos coterminales para resolver los siguientes problemas sin una calculadora.

Pregunta 1 (Ángulos Negativos): Encuentra el valor exacto de \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \) y \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \).

Mostrar Solución

Paso 1: Un ángulo negativo significa rotar en sentido horario. Para encontrar un ángulo coterminal positivo, suma \( 2\pi \).

\[ -\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} \]

Paso 2: El ángulo \( \dfrac{5\pi}{4} \) está en el Cuadrante III. Tanto el seno como el coseno son negativos.

Respuesta: \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) y \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \)

Pregunta 2 (Ángulos mayores que \(2\pi\)): Encuentra el seno y coseno exactos de \( \dfrac{16\pi}{3} \).

Mostrar Solución

Paso 1: Encuentra un ángulo coterminal entre \( 0 \) y \( 2\pi \) restando repetidamente círculos completos (\( 2\pi \) o \( \dfrac{6\pi}{3} \)).

\[ \dfrac{16\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{10\pi}{3} \]

\[ \dfrac{10\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Paso 2: El ángulo \( \dfrac{4\pi}{3} \) está en el Cuadrante III con un ángulo de referencia de \( \dfrac{\pi}{3} \).

Respuesta: \( \cos\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \) y \( \sin\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \)

Pregunta 3 (Funciones Recíprocas): Encuentra el valor exacto de \( \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \) y \( \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \).

Mostrar Solución

Paso 1: Identifica los valores básicos de seno y coseno. El ángulo \( \dfrac{11\pi}{6} \) está en el Cuadrante IV.

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{y} \quad \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]

Paso 2: Usa las identidades recíprocas: \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \) y \( \csc(\theta) = \dfrac{1}{\sin(\theta)} \).

\[ \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \]

\[ \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{-1/2} = \mathbf{-2} \]

Ángulos Especiales en el Círculo Unitario

Entendiendo la Simetría del Círculo Unitario

Ángulos Relacionados con \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°)

Ángulos Relacionados con \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°)

Ángulos Relacionados con \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°)

Preguntas de Desafío

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