¿Cómo usar el círculo unitario para encontrar propiedades e identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno? Se presentan preguntas de trigonometría para grado 11 junto con soluciones y explicaciones detalladas.
Un círculo tiene un número infinito de simetrías respecto a líneas que pasan por su centro, además de una simetría central. Aquí nos interesan las simetrías respecto a su centro, el eje x, el eje y y la recta y = x. Se mostrará cómo el uso de estas simetrías permite deducir varias identidades trigonométricas.
En un círculo unitario se muestran cuatro ángulos (θ, π - θ, π + θ y 2π - θ). A cada ángulo le corresponde un punto (A, B, C o D) en el círculo unitario.
Los cuatro ángulos tienen el mismo ángulo de referencia \( \theta \). Debido a la simetría del círculo unitario, los cuatro puntos forman un rectángulo \( ABCD \), como se muestra en el diagrama.
Los puntos \( A \) y \( B \) son reflexiones uno del otro a través del eje y. Los puntos \( A \) y \( C \) son reflexiones a través del origen. Los puntos \( A \) y \( D \) son reflexiones a través del eje x.
Dadas las coordenadas \( a \) y \( b \) del punto \( A \), y usando las simetrías del círculo unitario, las coordenadas de los puntos son:
\[ A: (a , b), \quad B: (-a , b), \quad C: (-a , -b), \quad D: (a , -b) \]Expresamos ahora las coordenadas de cada punto en términos del seno y coseno del ángulo correspondiente:
\[ A: (a , b) = (\cos \theta , \sin \theta) \] \[ B: (-a , b) = (\cos(\pi - \theta) , \sin(\pi - \theta)) \] \[ C: (-a , -b) = (\cos(\pi + \theta) , \sin(\pi + \theta)) \] \[ D: (a , -b) = (\cos(2\pi - \theta) , \sin(2\pi - \theta)) \]Comparando las coordenadas x e y de los puntos A y B, podemos escribir:
\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta \] \[ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta \]Comparando las coordenadas de los puntos A y C:
\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos \theta \] \[ \sin(\pi + \theta) = -\sin \theta \]Comparando las coordenadas de los puntos A y D:
\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos \theta \] \[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta \]Dos ángulos \(\theta\) y \(-\theta\) se muestran en el círculo unitario, correspondiendo a los puntos \(A\) y \(D\).
Los puntos \(A\) y \(D\) son reflexiones a través del eje x. Dadas las coordenadas \(a\) y \(b\) de \(A\), las coordenadas de \(D\) son: \[ D = (a, -b) \] Expresamos en términos de seno y coseno: \[ A = (a, b) = (\cos \theta, \sin \theta) \] \[ D = (a, -b) = (\cos(-\theta), \sin(-\theta)) \]
Identidades que se deducen:
\[ \cos(-\theta) = \cos \theta \] \[ \sin(-\theta) = -\sin \theta \]Los puntos A y B son reflexiones uno del otro respecto a la recta y = x. Los ángulos correspondientes son θ y π/2 - θ.
Dadas las coordenadas \( a \) y \( b \) de \( A \), las coordenadas de \( B \) son: \[ B: (b, a) \] Expresamos en términos de seno y coseno: \[ A: (a, b) = (\cos \theta, \sin \theta) \] \[ B: (b, a) = \left( \cos \left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right), \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) \right) \]
Ejemplos de Identidades:
\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta \] \[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta \]Utilice las siguientes identidades trigonométricas estándar:
Ahora verifique las siguientes identidades trigonométricas:
Use la identidad \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \):
\[ \cos(\pi - \theta) = \cos \pi \cos \theta + \sin \pi \sin \theta \]Con \( \cos \pi = -1 \) y \( \sin \pi = 0 \):
\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta \]Use \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \):
\[ \sin(\pi - \theta) = \sin \pi \cos \theta - \cos \pi \sin \theta \]Con \( \sin \pi = 0 \) y \( \cos \pi = -1 \):
\[ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta \]Use \( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \):
\[ \cos(\pi + \theta) = \cos \pi \cos \theta - \sin \pi \sin \theta \]Con \( \cos \pi = -1 \) y \( \sin \pi = 0 \):
\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos \theta \]Use \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \):
\[ \sin(\pi + \theta) = \sin \pi \cos \theta + \cos \pi \sin \theta \]Con \( \sin \pi = 0 \) y \( \cos \pi = -1 \):
\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin \theta \]Use \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \):
\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos 2\pi \cos \theta + \sin 2\pi \sin \theta \]Con \( \cos 2\pi = 1 \) y \( \sin 2\pi = 0 \):
\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos \theta \]Use \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \):
\[ \sin(2\pi - \theta) = \sin 2\pi \cos \theta - \cos 2\pi \sin \theta \]Con \( \sin 2\pi = 0 \) y \( \cos 2\pi = 1 \):
\[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta \]Reescriba como \( \cos(0 - \theta) \):
\[ \cos(-\theta) = \cos 0 \cos \theta + \sin 0 \sin \theta \]Con \( \cos 0 = 1 \) y \( \sin 0 = 0 \):
\[ \cos(-\theta) = \cos \theta \]Reescriba como \( \sin(0 - \theta) \):
\[ \sin(-\theta) = \sin 0 \cos \theta - \cos 0 \sin \theta \]Con \( \sin 0 = 0 \) y \( \cos 0 = 1 \):
\[ \sin(-\theta) = -\sin \theta \]Use \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \):
\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} \cos \theta + \sin\dfrac{\pi}{2} \sin \theta \]Con \( \cos\frac{\pi}{2} = 0 \) y \( \sin\frac{\pi}{2} = 1 \):
\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta \]Use \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \):
\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} \cos \theta - \cos\dfrac{\pi}{2} \sin \theta \]Con \( \sin\frac{\pi}{2} = 1 \) y \( \cos\frac{\pi}{2} = 0 \):
\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta \]