Identidades Trigonométricas y el Círculo Unitario

Derivación de Propiedades y Demostraciones usando Simetría

¿Cómo puedes usar el círculo unitario para encontrar propiedades e identidades trigonométricas para las funciones seno y coseno?

Un círculo tiene un número infinito de simetrías. Aquí, nos interesan específicamente las simetrías con respecto al eje x, el eje y, el origen y la línea \( y = x \). El uso de estas simetrías geométricas nos permite deducir visualmente y escribir varias identidades fundamentales en trigonometría.

Identidades debidas a la Simetría respecto al Origen y los Ejes X e Y

Se muestran a continuación cuatro ángulos \( \theta \), \( \pi - \theta \), \( \pi + \theta \) y \( 2\pi - \theta \) en un círculo unitario. Cada ángulo corresponde a un punto (\( A, B, C \) o \( D \)) en el círculo.

Simetría en el círculo unitario mostrando un rectángulo formado por 4 puntos

Los cuatro ángulos tienen el mismo ángulo de referencia igual a \( \theta \). Debido a la simetría del círculo unitario, los cuatro puntos forman un rectángulo \( ABCD \). Dadas las coordenadas \( (a, b) \) del punto \( A \), podemos encontrar las coordenadas de los otros mediante reflexión:

Identidades Deducidas

Desde los puntos A y B (Simetría respecto al eje Y):

\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \]

Desde los puntos A y C (Simetría respecto al origen):

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

Desde los puntos A y D (Simetría respecto al eje X):

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \]

Ángulos Negativos (Simetría respecto al Eje X)

Se muestran a continuación dos ángulos \( \theta \) y \( -\theta \), correspondientes a los puntos \( A \) y \( D \).

Simetría en el círculo unitario mostrando ángulos positivos y negativos

Los puntos \( A \) y \( D \) son reflexiones el uno del otro a través del eje x. Como vimos anteriormente, sus coordenadas son \( A(a,b) \) y \( D(a,-b) \). Esto produce las identidades trigonométricas de "Par/Impar":

\[ \cos(-\theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(-\theta) = -\sin\theta \]

Identidades debidas a la Simetría respecto a la línea \( y = x \)

Los puntos \( A \) y \( B \) mostrados a continuación son reflexiones el uno del otro a través de la línea diagonal \( y = x \). Debido a esta simetría, los ángulos correspondientes son \( \theta \) y \( \dfrac{\pi}{2} - \theta \).

Simetría en el círculo unitario respecto a la línea y = x

Reflejar a través de \( y = x \) intercambia las coordenadas x e y. Si \( A \) es \( (a, b) \), entonces \( B \) es \( (b, a) \).

Identidades de Cofunción

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\theta \]

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\theta \]

Verificación Algebraica de Identidades

Podemos demostrar todas las simetrías visuales que acabamos de descubrir algebraicamente usando las fórmulas estándar de suma y resta de ángulos:

1. Verificar: \( \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi - \theta) = \cos\pi \cos\theta + \sin\pi \sin\theta \]

Usando \( \cos\pi = -1 \) y \( \sin\pi = 0 \):

\[ = (-1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

2. Verificar: \( \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \)

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\pi \cos\theta - \cos\pi \sin\theta \]

Usando \( \sin\pi = 0 \) y \( \cos\pi = -1 \):

\[ = (0)\cos\theta - (-1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

3. Verificar: \( \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi + \theta) = \cos\pi \cos\theta - \sin\pi \sin\theta \]

\[ = (-1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

4. Verificar: \( \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(\pi + \theta) = \sin\pi \cos\theta + \cos\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

5. Verificar: \( \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \)

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos 2\pi \cos\theta + \sin 2\pi \sin\theta \]

Usando \( \cos 2\pi = 1 \) y \( \sin 2\pi = 0 \):

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

6. Verificar: \( \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(2\pi - \theta) = \sin 2\pi \cos\theta - \cos 2\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

7. Verificar: \( \cos(-\theta) = \cos\theta \)

Reescribir como \( \cos(0 - \theta) \):

\[ \cos(0 - \theta) = \cos 0 \cos\theta + \sin 0 \sin\theta \]

Usando \( \cos 0 = 1 \) y \( \sin 0 = 0 \):

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

8. Verificar: \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \)

Reescribir como \( \sin(0 - \theta) \):

\[ \sin(0 - \theta) = \sin 0 \cos\theta - \cos 0 \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

9. Verificar: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \)

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} \cos\theta + \sin\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

Usando \( \cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \) y \( \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \):

\[ = (0)\cos\theta + (1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

10. Verificar: \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \)

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} \cos\theta - \cos\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

\[ = (1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

Preguntas de Desafío

Aplica tu comprensión de la simetría, las identidades y las fórmulas de adición de ángulos para resolver los siguientes problemas de desafío.

Desafío 1 (Simetría de la Tangente): Usando las simetrías de seno y coseno derivadas anteriormente, demuestra que la función tangente tiene un período de \( \pi \). Es decir, demuestra que \( \tan(\pi + \theta) = \tan\theta \).

Mostrar Demostración

Paso 1: Usa la identidad de cociente para reescribir la tangente en términos de seno y coseno.

\[ \tan(\pi + \theta) = \dfrac{\sin(\pi + \theta)}{\cos(\pi + \theta)} \]

Paso 2: Sustituye las simetrías para la reflexión en el origen (Cuadrante III).

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

Paso 3: Simplifica la fracción.

\[ \dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \mathbf{\tan\theta} \]

Desafío 2 (Aplicación de Simetrías): Evalúa el valor exacto de la siguiente expresión sin calculadora: \[ \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) \]

Mostrar Solución

Paso 1: Simplifica el término del Seno.
Encuentra un ángulo coterminal para \( \dfrac{13\pi}{4} \) restando \( 2\pi \) (\( \dfrac{8\pi}{4} \)).
\( \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \).
Esto está en el Cuadrante III, relacionado con \( \dfrac{\pi}{4} \). Por lo tanto, \( \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

Paso 2: Simplifica el término del Coseno.
Usa la identidad de función par: \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \).
\( \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \).
Esto está en el Cuadrante II, relacionado con \( \dfrac{\pi}{6} \). Por lo tanto, \( \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

Paso 3: Multiplica los valores.

\[ \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}}{4}} \]

Desafío 3 (Cofunciones Avanzadas): Usa las fórmulas de adición de ángulos para verificar la identidad de la reflexión a través del límite del eje y negativo (límite entre Cuadrante III y IV): \[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta \]

Mostrar Demostración

Paso 1: Desarrolla usando la fórmula de diferencia de coseno: \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \).

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \cos\theta + \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \sin\theta \]

Paso 2: Evalúa los valores trigonométricos en \( \dfrac{3\pi}{2} \) (270 grados).

Sabemos que en la parte inferior del círculo unitario, las coordenadas son \( (0, -1) \). Entonces, \( \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \) y \( \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1 \).

Paso 3: Sustituye y simplifica.

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

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