Problemas de Funciones Cuadráticas con Soluciones

Explora problemas de funciones cuadráticas con soluciones detalladas e interpretaciones gráficas.

Repaso: Vértice y Discriminante de Funciones Cuadráticas

La gráfica de una función cuadrática escrita como:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

tiene un vértice en \((h, k)\) donde:

\[ h = -\frac{b}{2a} \quad \text{y} \quad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a} \]

La función cuadrática también se puede escribir en forma de vértice:

\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

El discriminante \(D\) de \( ax^2 + bx + c = 0 \) es:

\[ D = b^2 - 4ac \]

  1. Si \( D = 0 \), la ecuación tiene una solución real y la gráfica tiene una intersección con el eje X.
  2. Si \( D > 0 \), la ecuación tiene dos soluciones reales y la gráfica tiene dos intersecciones con el eje X.
  3. Si \( D < 0 \), la ecuación tiene dos soluciones complejas y la gráfica no tiene intersecciones con el eje X.

Problemas con Soluciones Detalladas

Problema 1: Maximización de Ganancias

La ganancia de una empresa (en miles de dólares) está dada por:

\[ P(x) = 5000 + 1000x - 5x^2 \]

donde \(x\) es el gasto en publicidad (en miles de dólares).

  1. Encuentra el gasto en publicidad que maximiza la ganancia.
  2. Encuentra la ganancia máxima.

Solución

  1. La función de ganancia es cuadrática con \(a = -5 < 0\), por lo que tiene un máximo en el vértice:

    \[ x = h = -\frac{b}{2a} = -\frac{1000}{2(-5)} = 100 \]

    Por lo tanto, la empresa debe gastar $100,000 en publicidad.

  2. La ganancia máxima es:

    \[ P_{\text{máx}} = P(100) = 5000 + 1000(100) - 5(100)^2 = 55000 \]

    Así que la ganancia máxima es $55,000.

Gráfica de la función de ganancia P(x)

Problema 2: Movimiento de un Proyectil

La altura sobre el suelo de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba está dada por:

\[ S(t) = -16t^2 + v_0 t \]

donde \(v_0\) es la velocidad inicial (pies/seg). Encuentra \(v_0\) para que la altura máxima sea 300 pies.

Solución

La altura máxima ocurre en el vértice. El valor \(k\) del vértice es:

\[ k = c - \frac{b^2}{4a} = 0 - \frac{v_0^2}{4(-16)} = \frac{v_0^2}{64} \]

Igualamos esto a 300:

\[ \frac{v_0^2}{64} = 300 \implies v_0^2 = 19200 \implies v_0 = \sqrt{19200} = 80\sqrt{3} \text{ pies/seg} \]

Gráfica de la función de altura S(t)

Problema 3: Encontrar una Cuadrática a partir de las Intersecciones

Encuentra la función cuadrática \(f\) cuya gráfica pasa por \((2, -8)\) y tiene intersecciones con el eje X en \((1, 0)\) y \((-2, 0)\).

Solución

Usando la forma de intersecciones:

\[ f(x) = a(x - 1)(x + 2) \]

Sustituimos \((2, -8)\):

\[ -8 = a(2 - 1)(2 + 2) \implies -8 = 4a \implies a = -2 \]

Por lo tanto:

\[ f(x) = -2(x - 1)(x + 2) \]

Problema 4: Intersección de una Cuadrática y una Recta

Dada \( f(x) = x^2 + x + 1 \) y la recta \( y = mx \), encuentra \(m\) para:

  1. 2 puntos de intersección
  2. 1 punto de intersección (tangente)
  3. Ningún punto de intersección

Solución

Para encontrar los puntos de intersección, debes resolver el sistema de ecuaciones:

\[ \left\{ \begin{array}{l} y = x^2 + x + 1 \\ y = m x \end{array} \right. \]

Igualamos \( mx = x^2 + x + 1 \), que se simplifica a:

\[ x^2 + (1 - m)x + 1 = 0 \]

Discriminante: \( D = (1 - m)^2 - 4 \).

  1. Dos intersecciones (\(D > 0\)): \((1 - m)^2 > 4 \implies m < -1 \text{ o } m > 3\)
  2. Una intersección (\(D = 0\)): \((1 - m)^2 = 4 \implies m = -1 \text{ o } m = 3\)
  3. Sin intersecciones (\(D < 0\)): \((1 - m)^2 < 4 \implies -1 < m < 3\)

Intersección de una cuadrática y rectas

Problema 5: Minimización de Costos

El costo \(C(x) = ax^2 + bx + c\) (en miles de dólares) de producir \(x\) artículos tiene un mínimo de 120 en \(x = 2000\), y un costo fijo \(C(0) = 200\). Encuentra \(a, b, c\).

Solución

La función \(C\) es una función cuadrática. Su punto mínimo, dado como \( (2000,120) \), es el vértice de la gráfica de \(C\). Por lo tanto, podemos escribir \(C(x)\) en forma de vértice de la siguiente manera: \[ C(x) = a(x - 2000)^2 + 120 \].

Usando \(C(0) = 200\):

\[ a(0 - 2000)^2 + 120 = 200 \implies 4 \times 10^6 a = 80 \implies a = 2 \times 10^{-5} \]

Expandimos:

\[ C(x) = 0.00002(x - 2000)^2 + 120 = 0.00002x^2 - 0.08x + 200 \]

Por lo tanto: \( a = 0.00002,\; b = -0.08,\; c = 200 \).

Gráfica de la función de costo C(x)

Problema 6: Recta Tangente a una Cuadrática

Encuentra la recta tangente a \( f(x) = -x^2 + x - 2 \) en \(x = 1\).

Solución

Método 1 (Algebraico):

Sea la recta tangente \( y = mx + b \). Pasa por \((1, f(1)) = (1, -2)\):

\[ -2 = m(1) + b \implies b = -2 - m \]

Para la tangencia, el sistema \( y = mx + b \) y \( y = -x^2 + x - 2 \) debe tener exactamente una solución. Sustituimos:

\[ mx + b = -x^2 + x - 2 \implies x^2 + (m - 1)x + (b + 2) = 0 \]

Igualamos el discriminante a cero:

\[ (m - 1)^2 - 4(1)(b + 2) = 0 \]

Sustituimos \( b = -2 - m \):

\[ (m - 1)^2 - 4(-m) = 0 \implies m^2 + 2m + 1 = 0 \implies (m + 1)^2 = 0 \]

Así \( m = -1 \), \( b = -2 - (-1) = -1 \). La recta tangente es:

\[ y = -x - 1 \]

Recta tangente a la cuadrática

Método 2 (Cálculo): Usando derivadas (ver Preguntas de Cálculo).

Preguntas de Práctica

Pregunta 1: Encuentra la función cuadrática con intersecciones en el eje X en \((-1, 0)\) y \((3, 0)\), e intersección en el eje Y en \((0, -4)\).

Pregunta 2: Para \( f(x) = x^2 + x + c \) y la recta \( y = 2x \), encuentra \(c\) para:

  1. 2 puntos de intersección
  2. 1 punto de intersección
  3. Ningún punto de intersección

Soluciones a las Preguntas de Práctica

Solución a la Pregunta 1: Usando la forma de intersecciones \( f(x) = a(x + 1)(x - 3) \). Sustituimos \((0, -4)\):

\[ -4 = a(1)(-3) \implies a = \frac{4}{3} \]

Por lo tanto: \( f(x) = \frac{4}{3}(x + 1)(x - 3) \).

Solución a la Pregunta 2: Resolvemos \( x^2 + x + c = 2x \implies x^2 - x + c = 0 \). Discriminante: \( D = 1 - 4c \).

  1. Dos intersecciones: \( D \gt 0 \implies c \lt \frac{1}{4} \)
  2. Una intersección: \( D = 0 \implies c = \frac{1}{4} \)
  3. Sin intersecciones: \( D \lt 0 \implies c \gt \frac{1}{4} \)

Recursos Adicionales