Esta página presenta un conjunto de problemas relacionados con el vértice, las intersecciones con los ejes X e Y, y el eje de simetría de funciones cuadráticas. Cada problema se resuelve analíticamente y se ilustra gráficamente.
También puedes usar esta calculadora para encontrar el vértice y las intersecciones de funciones cuadráticas para verificar tus resultados.
Una función cuadrática en su forma estándar está dada por
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]Su gráfica es una parábola vertical con un eje de simetría paralelo al eje \(y\). La parábola tiene:
Si \(a > 0\), la parábola se abre hacia arriba y el vértice es el punto mínimo. Si \(a < 0\), la parábola se abre hacia abajo y el vértice es el punto máximo.
Las coordenadas del vértice están dadas por:
\[ h = -\frac{b}{2a}, \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a} \]Una función cuadrática con vértice \((h,k)\) se puede escribir en forma de vértice como:
\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]El eje de simetría es la línea vertical:
\[ x = h \]Las intersecciones con el eje \(x\) (si existen) son las soluciones de:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]Usando la fórmula cuadrática, las soluciones son:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]Se puede demostrar que:
\[ h = \frac{x_1 + x_2}{2} \]Si las intersecciones con el eje \(x\) son \(x_1\) y \(x_2\), entonces la función también puede escribirse como:
\[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]Encuentra el vértice, las intersecciones con los ejes \(x\) e \(y\), y el eje de simetría de:
\[ f(x) = -x^2 - 2x + 3 \]Solución
Identificamos los coeficientes:
\[ a = -1, \quad b = -2, \quad c = 3 \]Las coordenadas del vértice son:
\[ h = -\frac{-2}{2(-1)} = -1 \] \[ k = f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = 4 \]El vértice está en \((-1,4)\).
Para encontrar las intersecciones con el eje \(x\), resolvemos \(f(x) = 0\):
\[ -x^2 - 2x + 3 = 0 \] \[ -(x - 1)(x + 3) = 0 \]Por lo tanto, las intersecciones con el eje \(x\) son:
\[ (1,0) \quad \text{y} \quad (-3,0) \]La intersección con el eje \(y\) es:
\[ f(0) = 3 \]Así que la intersección con el eje \(y\) es \((0,3)\).
El eje de simetría es:
\[ x = -1 \]
Encuentra una función cuadrática cuya gráfica tenga intersecciones con el eje \(x\) en \(x=-4\) y \(x=6\), y cuyo punto más alto tenga una coordenada \(y\) igual a \(6\).
Solución
\[ f(x) = a(x + 4)(x - 6) \]El vértice se encuentra a medio camino entre las intersecciones con el eje \(x\):
\[ h = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \]Dado que el vértice es \((1,6)\), sustituimos \(x=1\):
\[ a(1+4)(1-6) = 6 \] \[ -25a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6}{25} \]La función cuadrática es:
\[ f(x) = -\frac{6}{25}(x + 4)(x - 6) \]
Una parábola con eje vertical tiene vértice \((1,-8)\) y pasa por \((2,-6)\). Encuentra sus intersecciones con el eje \(x\).
Solución
\[ f(x) = a(x - 1)^2 - 8 \] \[ -6 = a(2 - 1)^2 - 8 \] \[ a = 2 \] \[ f(x) = 2(x - 1)^2 - 8 \]Resolvemos \(f(x)=0\):
\[ 2(x - 1)^2 = 8 \] \[ (x - 1)^2 = 4 \] \[ x = 3 \quad \text{o} \quad x = -1 \]Las intersecciones con el eje \(x\) son \((3,0)\) y \((-1,0)\).
Una función cuadrática tiene un valor mínimo de \(-2\), una intersección con el eje \(y\) en \((0,6)\), y una intersección con el eje \(x\) en \((3,0)\). Encuentra una posible ecuación.
Solución
\[ f(x) = a(x - h)^2 - 2 \]Usando la intersección con el eje \(y\):
\[ 6 = ah^2 - 2 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{8}{h^2} \]Usando la intersección con el eje \(x\):
\[ 0 = a(3 - h)^2 - 2 \] \[ 0 = \frac{8}{h^2}(3 - h)^2 - 2 \] \[ h^2 - 8h + 12 = 0 \] \[ h = 2 \quad \text{o} \quad h = 6 \]Funciones correspondientes:
\[ f(x) = 2(x - 2)^2 - 2 \] \[ f(x) = \frac{2}{9}(x - 6)^2 - 2 \]