Funciones Cuadráticas: Forma General y Propiedades

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de grado 2. Este tutorial explora sus gráficas, propiedades que incluyen el vértice y las intersecciones, y la relación entre la gráfica de una función y las soluciones de su ecuación correspondiente. La exploración interactiva está disponible mediante el ajuste de coeficientes.

Este tutorial puede entenderse mejor con la ayuda de un applet interactivo sobre funciones cuadráticas.

Después de completar este tutorial, puedes continuar con tutoriales adicionales sobre funciones cuadráticas o graficar funciones cuadráticas.

A - Definición de una Función Cuadrática

Una función cuadrática \(f\) se define como:

\[ f(x) = ax^{2} + bx + c \]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales y \(a \neq 0\). Su gráfica se llama parábola: una curva en forma de U que se abre hacia arriba si \(a > 0\) y hacia abajo si \(a < 0\).

Ejemplos:

  1. \( f(x) = -2x^{2} + x - 1 \)
  2. \( f(x) = x^{2} + 3x + 2 \)

B - Forma Estándar y Vértice de una Función Cuadrática

Cualquier función cuadrática se puede reescribir en forma estándar (del vértice):

\[ f(x) = a(x - h)^{2} + k \]

donde el punto \((h, k)\) es el vértice de la parábola. Los valores de \(h\) y \(k\) se derivan de los coeficientes \(a, b, c\) de la siguiente manera:

Derivación de las Coordenadas del Vértice

Partiendo de la forma general y completando el cuadrado:

  1. Dado: \( f(x) = ax^{2} + bx + c \)
  2. Factorizar \(a\) de los términos cuadrático y lineal:
    \( f(x) = a\left[x^{2} + \frac{b}{a}x\right] + c \)
  3. Sumar y restar \(\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\) dentro del paréntesis:
    \( f(x) = a\left[x^{2} + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^{2} - \left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right] + c \)
  4. Observar que \(x^{2} + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^{2} = \left[x + \frac{b}{2a}\right]^{2}\)
  5. Reescribir:
    \( f(x) = a\left[x + \frac{b}{2a}\right]^{2} - a\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} + c \)
  6. Simplificar:
    \( f(x) = a\left[x + \frac{b}{2a}\right]^{2} - \frac{b^{2}}{4a} + c \)

Así, la forma estándar se obtiene con:

\[ h = -\frac{b}{2a} \quad \text{y} \quad k = c - \frac{b^{2}}{4a} \]

El vértice \((h, k)\) representa el punto máximo (si \(a < 0\)) o mínimo (si \(a > 0\)) de la parábola.

Ejemplo: Convertir a Forma Estándar y Encontrar el Vértice

Reescribe \( f(x) = -2x^{2} + 4x + 1 \) en forma estándar e identifica su vértice.

Solución:

  1. Dado: \( f(x) = -2x^{2} + 4x + 1 \)
  2. Factorizar \(-2\) de los primeros dos términos:
    \( f(x) = -2(x^{2} - 2x) + 1 \)
  3. Completar el cuadrado dentro del paréntesis:
    Coeficiente de \(x\) es \(-2\); la mitad es \(-1\); el cuadrado es \((-1)^2 = 1\).
    \( f(x) = -2\left(x^{2} - 2x + 1 - 1\right) + 1 \)
  4. Reagrupar:
    \( f(x) = -2\left[(x - 1)^{2} - 1\right] + 1 \)
    \( f(x) = -2(x - 1)^{2} + 2 + 1 \)
    \( f(x) = -2(x - 1)^{2} + 3 \)
  5. Forma estándar: \( a = -2, h = 1, k = 3 \).
  6. Vértice: \((1, 3)\).

Alternativa usando fórmulas:
\( h = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1 \)
\( k = c - \frac{b^{2}}{4a} = 1 - \frac{4^{2}}{4(-2)} = 1 - \frac{16}{-8} = 1 + 2 = 3 \)

C - Intersecciones con el Eje X de una Función Cuadrática

Las intersecciones con el eje X (raíces/ceros) de \( f(x) = ax^{2} + bx + c \) son las soluciones reales de:

\[ ax^{2} + bx + c = 0 \]

Se encuentran usando la fórmula cuadrática:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \]

El discriminante \( D = b^{2} - 4ac \) determina la naturaleza de las raíces:

Ejemplos: Encontrar las Intersecciones con el Eje X

  1. Para \( f(x) = x^{2} + 2x - 3 \):
    Resolver \( x^{2} + 2x - 3 = 0 \).
    \( D = 2^{2} - 4(1)(-3) = 16 \)
    \( x_{1} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 1 \), \( x_{2} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = -3 \).
    Intersecciones con el eje X: \((1, 0)\) y \((-3, 0)\).
  2. Para \( g(x) = -x^{2} + 2x - 1 \):
    Resolver \( -x^{2} + 2x - 1 = 0 \).
    \( D = 2^{2} - 4(-1)(-1) = 0 \)
    \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \).
    Intersección con el eje X: \((1, 0)\).
  3. Para \( h(x) = -2x^{2} + 2x - 2 \):
    Resolver \( -2x^{2} + 2x - 2 = 0 \).
    \( D = 2^{2} - 4(-2)(-2) = -12 \) (negativo).
    No hay intersecciones reales con el eje X.

Práctica: Encuentra las Intersecciones con el Eje X

  1. \( f(x) = x^{2} + x - 2 \)
  2. \( g(x) = 4x^{2} + x + 1 \)
  3. \( h(x) = x^{2} - 4x + 4 \)

Verificar Respuestas

D - Intersección con el Eje Y de una Función Cuadrática

La intersección con el eje Y se encuentra evaluando \( f(0) \):

\[ f(0) = a(0)^{2} + b(0) + c = c \]

Por lo tanto, la gráfica siempre cruza el eje Y en \((0, c)\).

Ejemplos:

  1. \( f(x) = x^{2} + 2x - 3 \) → \( f(0) = -3 \) → Intersección con el eje Y: \((0, -3)\).
  2. \( g(x) = 4x^{2} - x + 1 \) → \( g(0) = 1 \) → Intersección con el eje Y: \((0, 1)\).
  3. \( h(x) = -x^{2} + 4x + 4 \) → \( h(0) = 4 \) → Intersección con el eje Y: \((0, 4)\).

Referencias y Enlaces