Encuentra el volumen de una esfera usando integrales y el método del disco.
Problema
Encuentra el volumen de una esfera generada al girar el semicírculo \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) alrededor del eje x.
Solución
La gráfica de \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) desde \( x = -R \) hasta \( x = R \) se muestra a continuación. Sea \( f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \), el volumen se da por la fórmula 1 en Volumen de un Sólido de Revolución
Figura 1. volumen de una esfera generada por la rotación de un semicírculo alrededor del eje x
\[
\text{Volumen} = \int_{x_1}^{x_2} \pi f(x)^2 dx \\
\]
Sustituye \( f(x) \) por su expresión \( \sqrt{R^2 - x^2} \).
\[
= \int_{-R}^{R} \pi \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 dx \\
\]
Simplifica.
\[
= \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2) dx \\
\]
Integra.
\[
= \pi\left [R^2 x - \frac{x^3}{3} \right ]_{-R}^R \\
\]
Evalúa la integral.
\[
= \pi\left [ \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right ] = \frac{4}{3} \pi R^3
\]
Esta es la fórmula bien conocida para el volumen de una esfera. Si giras un semicírculo de radio \( R \) alrededor del eje x, generará una esfera de radio \( R \).
