Volumen de una Esfera mediante Integrales

Encuentra el volumen de una esfera usando integrales y el método del disco.

Problema

Encuentra el volumen de una esfera generada al revolucionar el semicírculo \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) alrededor del eje x.

Solución

La gráfica de \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) desde \( x = -R \) hasta \( x = R \) se muestra a continuación. Sea \( f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \), el volumen viene dado por la fórmula 1 en Volumen de un Sólido en Revolución.

\[ \large{\text{Volumen} = \color{red}{ \int_{x_1}^{x_2} \pi (f(x))^2 dx }} \]
Diagrama que muestra la generación de una esfera al rotar un semicírculo alrededor del eje x

Figura 1. Volumen de una esfera generada por la rotación de un semicírculo alrededor del eje x.
\[ \text{Volumen} = \int_{x_1}^{x_2} \pi f(x)^2 dx \] \[ = \int_{-R}^{R} \pi \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 dx \]

Simplificar.

\[ = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2) dx \]

Integrar.

\[ = \pi\left [R^2 x - \frac{x^3}{3} \right ]_{-R}^R \]

Evaluar la integral.

\[ = \pi\left [ \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right ] = \frac{4}{3} \pi R^3 \]

Esta es la conocida fórmula para el volumen de una esfera. Si haces girar un semicírculo de radio \( R \) alrededor del eje x, se generará una esfera de radio \( R \).

Más Enlaces y Referencias