المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية

النظرية، الحلول العامة، المعادلات المتجانسة، والمعاملات الثابتة

تقدم هذه الصفحة المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية، مع التركيز على صيغتها العامة وعلى المعادلات المتجانسة ذات المعاملات الثابتة. تظهر هذه المعادلات بشكل متكرر في الفيزياء والهندسة والرياضيات التطبيقية.

الصيغة العامة

يمكن كتابة المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية على النحو التالي:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]

إذا كانت \( R(x) \neq 0 \)، تسمى المعادلة غير متجانسة.

إذا كانت \( R(x) = 0 \)، تصبح المعادلة:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \]

وتسمى معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الرتبة الثانية.

الحل العام للمعادلات المتجانسة

إذا كانت \( y_1(x) \) و \( y_2(x) \) حلين مستقلين خطياً لـ:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \]

فإن الحل العام هو:

الحل المتجانس العام:
\[ y(x) = Ay_1(x) + By_2(x) \]

حيث \( A \) و \( B \) ثوابت اختيارية.

ملاحظة: تكون الدالتان مستقلتين خطياً إذا لم تكن إحداهما مضاعفاً ثابتاً للأخرى.

المعادلات من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة

تأخذ المعادلات المتجانسة ذات المعاملات الثابتة الشكل التالي:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 \]

حيث \( b \) و \( c \) ثوابت.

نبحث عن حلول على شكل \( y = e^{kx} \). إذن:

\[ \frac{dy}{dx} = ke^{kx}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = k^2e^{kx} \]

التعويض في المعادلة التفاضلية يعطي:

\[ k^2e^{kx} + bke^{kx} + ce^{kx} = 0 \]

بإخراج العامل المشترك \( e^{kx} \):

\[ e^{kx}(k^2 + bk + c) = 0 \]

بما أن \( e^{kx} \neq 0 \)، نحصل على المعادلة المميزة (المساعدة):

المعادلة المميزة:
\[ k^2 + bk + c = 0 \]

يتم إعطاء الجذور بواسطة الصيغة التربيعية:

\[ k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}{2} \]

ليكن \( D = b^2 - 4c \) المميز. تنشأ ثلاث حالات:

تؤدي كل حالة إلى شكل مختلف للحل العام.

أمثلة محلولة والمراجع

استكشف أمثلة محلولة خطوة بخطوة لكل حالة:

المزيد من المراجع