使用积分和圆盘法求球体的体积。
在下文中，\( C \) 表示积分常数。
问题与推导
问题：求将半圆 \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) 绕 x 轴旋转所生成的球体体积。
下图显示了 \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) 从 \( x = -R \) 到 \( x = R \) 的图象。设 \( f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \)。体积由旋转体的体积中的公式 1 给出：
\[ \large{\text{Volume} = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} \pi (f(x))^2 \, dx}} \]
建立从 \( -R \) 到 \( R \) 的定积分：
\[ \text{Volume} = \int_{-R}^{R} \pi f(x)^2 \, dx \]将 \( f(x) \) 替换为其表达式 \( \sqrt{R^2 - x^2} \)：
\[ = \int_{-R}^{R} \pi \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 \, dx \]化简：
\[ = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2) \, dx \]积分：
\[ = \pi \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R} \]计算积分：
\[ = \pi \left[ \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi R^3 \]这就是著名的球体积公式。将半径为 \( R \) 的半圆绕 x 轴旋转即可生成半径为 \( R \) 的球体。