使用微积分中的积分求正四棱锥体积的公式。
在下文中，\( C \) 表示积分常数。
问题与推导
问题：图中的棱锥底面是一个边长为 \( a \) 且正交于 y 轴的正方形。棱锥的高为 \( H \)。使用积分及其性质求用 \( a \) 和 \( H \) 表示的正四棱锥体积。
问题解答：
让我们首先放置棱锥，使得正方形底面的两个相对边垂直于 x 轴，并且其底面中心位于 x-y 坐标系的原点。如果我们从正交于 x-y 平面的方向看这个棱锥，它看起来就像下面显示的二维形状。\( AC \) 是斜高。
设 \( x = A'B' \) 为高度 \( y \) 处正方形边长的一半。高度 \( y \) 处正方形的面积 \( A \) 由下式给出：
\[ A(x) = (2x)^2 \]总体积通过将从 \( y = 0 \) 到 \( y = H \) 构成棱锥的所有体积 \( A \, dy \) 相加来求得。因此：
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{H} A(x) \, dy \] \[ = 4 \int_{0}^{H} x^2 \, dy \]我们现在利用三角形 \( ABC \) 和 \( AB'C' \) 相似的性质，因此它们对应边的长度成比例：
\[ \frac{a/2}{x} = \frac{H}{H - y} \]我们求解上式中的 \( x \) 得到：
\[ x = \frac{a (H - y)}{2H} \]我们把 \( x \) 代入表示体积的积分中：
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} (H - y)^2 \, dy \]我们定义 \( t \) 为：
\[ t = H - y \quad \text{和} \quad dt = -dy \]代入并改变积分上下限，将体积写为：
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{H}^{0} t^2 (-dt) \] \[ = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} t^2 \, dt \]计算积分并化简：
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \left[\frac{H^3}{3}\right] \] \[ \Large \displaystyle \boxed{\text{Volume} = \frac{a^2 H}{3}} \]正四棱锥的体积等于底面积乘以棱锥高度的三分之一。